课程简介：全国高中数学联赛是中国高中数学学科的最高等级的数学竞赛，其地位远高于各省自行组织的数学竞赛。在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”。优胜者可以自动获得各重点大学的保送资格。各省赛区一等奖前6名可参加中国数学奥林匹克，获得进入国家集训队的机会。中小学教育网重磅推出“全国高中数学联赛”辅导课程，无论是有意向参加竞赛的初学者，还是已入围二试的竞赛选手，都有适合的课程提供。本套课程由中国数学奥林匹克高级教练熊斌、人大附中数学教师李秋生等名师主讲，轻松突破你的数学极限！课程招生简章：HYPERLINK"http://www.g12e.com/webhtml/project/liansaigz.shtml"http://www.g12e.com/webhtml/project/liansaigz.shtml选课中心地址：HYPERLINK"http://member.g12e.com/selectcourse/commonCourse.shtm?courseeduid=170037"\l"_170037_"http://member.g12e.com/selectcourse/commonCourse.shtm?courseeduid=170037#_170037_第四章几何专题1.在四边形ABCD中，AD//BC，边AB、CD的中点分别是M、N，而△ABC、△ADC的外心分别是O1、O2。已知直线MN平分线段O1O2，证明：四边形ABCD是平行四边形。2.已知圆内接四边形ABCD，K、L、M、N分别是边AB、BC、CD、DA的中点。证明：△AKN、△BKL、△CLM、△DMN的垂心是一个平行四边形的顶点。3.已知△ABC内一点P，设D、E、F分别是点P在边BC、CA、AB上的投影。假设AP2+PD2=BP2+PE2=CP2+PF2，且ABC的三个旁心分别是IA、IB、IC。证明：P是△IAIBIC的外心。4.设点O是锐角ABC的外心，分别以△ABC三边的中点为圆心作过O的圆，这三个圆两两的异于O的交点分别是K、L、M。证明：点O是△KLM的内心。5.已知△ABC的外心是O，内心是I，且I1G其中G是△ABC的重心。假设边BC、CA、AB的长度分别是a、b、c。证明：IG^BC的充要条件是b=c或b+c=3a。6.已知点O是锐角△ABC的外心。直线AO与BC交于点K，点L、M分别是边AB、AC上的点，且有KL=KB，KM=KC。证明：LM//BC。7.已知I是与△ABC的边BC相切的旁切圆的圆心，D为边AC的中点，E是线段BC和IAD的交点。若DBAC=2DACB，证明：AB=BE。8.在等腰△ABC中，AC=BC，I为其内心。设P是△AIB的外接圆在△ABC内部的圆弧上一点，过P分别平行于CA和CB的直线交AB于点D和E，过P平行于AB的直线交CA于F、交CB于G。证明：直线DF与直线EG的交点在△ABC的外接圆上。9.在△ABC中，过点B、C的圆O与AC、AB分别交于点D、E，BD与CE交于点F，直线OF与△ABC的外接圆上包含点A的弧BC交于点P。证明：△PBD的内心与△PCE的内心重合。位似变换的定义：O是平面上一个定点，k是一个非零实数。如果平面的一个变换使得对于平面上任何一点A和其像点A′和都有，则称这个变换为平面的一个位似变换，称O为位似中心，常数k称为位似系数或位似比。位似变换是相似变换的特殊情形，位似比为1的变换是恒同变换。位似比大于零的位似变换称为外位似变换，位似比小于零的位似变换称为内位似变换。对于两个不同心的圆，存在两个位似变换可以把一个圆变为另外一个圆。这两个位似变换恰好一内一外。两个位似中心分别称为这两个圆的外位似中心和内位似中心。大家可能对直线形中的位似变换接触较多，其实位似变换在和圆有关的题目中也大有用武之地。下面两个结论非常有用，它们可以用梅涅劳斯定理证明。结论1：平面上三个不同心的圆两两的外位似中心三点共线。结论2：平面上三个不同心的圆两两的两个内位似中心和一个外位似中心三点共线。例1.将圆O的弦AB和弧三等分，分点分别是C、D和C'、D'（AC=CD=DB，），直线CC'和DD'交于点P。证明：∠APB=∠C'OD'。例2.设D为边AC上一点，E和F分别为线段BD、BC上的点，满足∠BAE=∠FAC，再设P、Q分别为线段BC、BD上的点，使得EP//QF//DC。证明：∠BAP=∠QAC。例3.设D是三角形ABC的边BC上一点，DC的垂直平分线交边AC于E，BD的垂直平分线交边AB于F。证明：E、A、F、O四点共圆，其中O是