2024年甘肃省数学高考自测试卷及解答参考一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、若函数fx=ax2+bx+c在x=1处有极值，则a的取值范围是：A.a>0B.a<0C.a≠0D.a=0答案：C解析：函数fx=ax2+bx+c在x=1处有极值，意味着其一阶导数在x=1处为零。计算fx的一阶导数得f′x=2ax+b。令f′1=0，得到2a+b=0。从这个方程可以看出，无论a的值是正是负，只要满足a≠0，总能找到一个b的值使得f′1=0。因此，a的取值范围是a≠0。2、若函数fx=1x在区间[1,e]上的图像与直线y=kx相切于点x0,y0，则k的值为（）A.1B.1eC.1x0D.e答案：D解析：由于函数fx=1x在区间[1,e]上的图像与直线y=kx相切，故在切点x0,y0处，两函数的导数相等，即：f′x0=−1x02=k又因为y0=1x0，代入直线方程y=kx中得：1x0=kx0k=1x02所以k=e，选D。3、在下列各数中，有理数是：（）A.2B.πC.13D.−32答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，形式为ab，其中a和b是整数，且b≠0。A.2是无理数，因为不能表示为两个整数之比。B.π也是无理数，它是一个无限不循环的小数。C.13可以表示为两个整数之比（1和3），所以它是有理数。D.−32是无理数，因为3是无理数，乘以有理数12仍为无理数。因此，选项C是正确答案。4、在下列各数中，正实数3−8的立方根是（）A、-2B、2C、0D、不存在答案：A解析：正实数3−8等于-2，因为−23=−8。所以，-2的立方根仍然是-2，即−213=−2。因此，选项A正确。5、已知函数fx=x3−3x+2，若A是函数的图像与x轴的交点，B是函数的图像与y轴的交点，C是函数的图像与直线y=x的交点。则下列说法正确的是：A.AB的长度小于BC的长度B.BC的长度小于AC的长度C.AC的长度小于AB的长度D.无法判断答案：B解析：首先，我们可以通过求解函数fx=x3−3x+2的根来找出点A和点B的坐标。将fx=0解得x3−3x+2=0，通过因式分解或者使用求根公式，可以得到x=−1和x=2是方程的解。因此，点A的坐标是−1,0，点B的坐标是0,2。接下来，求点C的坐标。点C位于直线y=x上，所以x和y坐标相同。将y=x代入fx中，得到x3−3x+2=x，即x3−4x+2=0。解这个方程可以得到x=1+2或x=1−2。由于y=x，因此C的坐标是1+2,1+2或1−2,1−2。计算AB、BC和AC的长度：-AB的长度为−1−02+0−22=1+4=5-BC的长度为0−1+22+2−1+22=−1−22+12=3+22-AC的长度为−1−1+22+0−1+22=−2−22+−1−22=8+42+2+1+22+2=13+62比较AB、BC和AC的长度，可以看出BC的长度是最小的。因此，选项B正确。6、在函数fx=x3−3x的图像中，下列哪个选项表示函数的增减情况？A.在x=−1时，函数递增，在x=1时，函数递减。B.在x=−1时，函数递减，在x=1时，函数递增。C.在x=−1时，函数不变，在x=1时，函数不变。D.在x=−1时，函数递增，在x=1时，函数不变。答案：A解析：要判断函数的增减情况，可以通过求导数并判断导数的正负。对于函数fx=x3−3x，求导得f′x=3x2−3。令f′x=0，解得x=±1。当x<−1或x>1时，f′x>0，函数递增；当−1<x<1时，f′x<0，函数递减。因此，在x=−1时，函数递增，在x=1时，函数递减，选项A正确。7、在函数fx=2x3−3x2+4中，x=12是一个A.极大值点B.极小值点C.平凡点D.无极值点答案：A解析：首先求函数的导数f′x=6x2−6x。将x=12代入f′x得f′12=0，因此x=12是驻点。接下来求二阶导数f″x=12x−6，将x=12代入f″x得f″12=0，二阶导数也为0，说明x=12是拐点。然而，我们还需要判断这个拐点是否是极大值点。由于f′x在x=12左侧为正，在右侧为负，因此fx在x=12处由增转减，所以x=12是一个极大值点。8、已知函数fx=ax2+bx+c，其中a≠0，若函数的对称轴为x=−b2a，且在x=1时，f1=2，在x=3时，f3=6，则ac的值为（）A、4B、6C、8D、10答案：C解析：由题意知，函数的对称轴为x=−b2a，且在x=1时，f1=2，在x=3时，f3=6，代入函数解析式得：a12+b1+c=2a32+b3+c=6化简得：a+b+c=29a+3b+c=6解得：a=1