一个整数得约数个数与约数与得计算方法,两数得最大公约数与最小公倍数之间得关系,分数得最小公倍数、涉及一个整数得约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数得问题,其中质因数分解发挥着重要作用.1、数360得约数有多少个?这些约数得与就是多少?【分析与解】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5;360得约数可以且只能就是2a×3b×5c,(其中a,b,c均就是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1).因为a、b、c得取值就是相互独立得,由计数问题得乘法原理知,约数得个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24.我们先只改动关于质因数3得约数,可以就是l,3,32,它们得与为(1+3+32),所以所有360约数得与为(1+3+32)×2y×5w;我们再来确定关于质因数2得约数,可以就是l,2,22,23,它们得与为(1+2+22+23),所以所有360约数得与为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w;最后确定关于质因数5得约数,可以就是1,5,它们得与为(1+5),所以所有360得约数得与为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5).于就是,我们计算出值:13×15×6=1170.所以,360所有约数得与为1170.评注:我们在本题中分析了约数个数、约数与得求法、下面我们给出一般结论:I、一个合数得约数得个数就是在严格分解质因数之后,将每个质因数得指数(次数)加1后所得得乘积、如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它得约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个、(包括1与它自身)Ⅱ、约数得与就是在严格分解质因数后,将M得每个质因数最高次幂得所有约数得与相乘所得到得积.如:21000=23×3×53×7,所以21000所有约数得与为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880.2、一个数就是5个2,3个3,6个5,1个7得连乘积、这个数有许多约数就是两位数,那么在这些两位数得约数中,最大得就是多少?【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不就是A得约数,而96=25×3为A得约数,所以96为其最大得两位数约数.3、写出从360到630得自然数中有奇数个约数得数.【分析与解】一个合数得约数得个数就是在严格分解质因数之后,将每个质因数得指数(次数)加1后所得得乘积、如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它得约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个、(包括1与它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数得所有质因子得个数均为偶数个、这样它们加1后均就是奇数,所得得乘积才能就是奇数、而所有质因数得个数均就是偶数个得数为完全平方数、即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数得数一定就是完全平方数.由以上分析知,我们所求得为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间得完全平方数为192,202,212,222,232,242,252.即360到630得自然数中有奇数个约数得数为361,400,441,484,529,576,625.4、今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本得数量分别相等、那么最多可分多少堆?【分析与解】显然堆数就是42得约数,就是112得约数,就是70得约数、即为42,112,70得公约数,有(42,112,70)=14.所以,最多可以分成14堆.5、加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件、要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析与解】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产得零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k得最小值为6,10,15得最小公倍数,即[6,10,15]=30.所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人.6、有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米、如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长就是300米得圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?【分析与解】设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,她们3人之间得路程差均就是跑道长度得整数倍.即120x-100x,120x-70x,lOOx