一、选择题1．(2011·辽宁高考)a为正实数，i为虚数单位，|eq\f(a＋i,i)|＝2，则a＝()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D．1解析：由已知|eq\f(a＋i,i)|＝2得|eq\f(a＋i,i)|＝|(a＋i)·(－i)|＝|－ai＋1|＝2，∴eq\r(1＋a2)＝2，∵a＞0，∴a＝eq\r(3).答案：B2．(2012·武汉模拟)若复数eq\f(2－bi,1＋2i)(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b等于()A.eq\r(2)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3)D．2解析：eq\f(2－bi,1＋2i)＝eq\f(2－bi1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(2－2b－4＋bi,5)，由题意得eq\f(2－2b,5)－eq\f(4＋b,5)＝0，得b＝－eq\f(2,3).答案：C3．(2012·皖南八校联考)复数z满足z＝eq\f(2－i,1－i)，则eq\x\to(z)等于()A．1＋3iB．3－iC.eq\f(3,2)－eq\f(1,2)iD.eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i解析：∵z＝eq\f(2－i,1－i)＝eq\f(2－i1＋i,2)＝eq\f(3＋i,2)，∴eq\x\to(z)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)i.答案：C4．(2012·广东六校联考)若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a＋bi|＝()A.eq\f(1,2)＋iB.eq\r(5)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(5,4)解析：由(1＋2ai)i＝1－bi得，a＝－eq\f(1,2)，b＝－1，所以|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\f(\r(5),2).答案：C5．定义：若z2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则称复数z是复数a＋bi的平方根．根据定义，则复数－3＋4i的平方根是()A．1－2i或－1＋2iB．1＋2i或－1－2iC．－7－24iD．7＋24i解析：设(x＋yi)2＝－3＋4i，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝－3，,xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2.))答案：B二、填空题6．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________.解析：由题意知A(1,1)，B(－1,3)，故||＝eq\r(－1－12＋3－12)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)7．设复数z满足|z|＝5且(3＋4i)z是纯虚数，则eq\x\to(z)＝________.解析：设z＝a＋bi(a、b∈R)，则有eq\r(a2＋b2)＝5.*于是(3＋4i)z＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i.由题设得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－4b＝0,4a＋3b≠0))得b＝eq\f(3,4)a代入*得a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a))2＝25，a＝±4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝－3.))∴eq\x\to(z)＝4－3i或eq\x\to(z)＝－4＋3i.答案：±(4－3i)三、解答题8．计算：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)；(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2).解：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)＝eq\f(－3＋i,－i)＝－1－3i.(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,5)＝eq\f(1,5)