周世国之武汉大学高等数学试卷汇编：2002—2003年第一学期A卷2002-2003年第一学期※※※※※※高等数学（180学时）试题A卷※※※※※※一．填空题（每小题4分，共20分）1．若有无穷间断点及可去间断点，则解：由于为无穷型间断点，故，所以又为可去型间断点，故存在，所以，即2．函数在处的泰勒公式为解：记，则；；；……一般地，.由公式：得：3．若在处连续，则解：（等价）；令，得4．曲线的拐点是解：；令，得又因为当时，，曲线是上凸的；而当时，，曲线是下凸的，所以是曲线的拐点.5．设为常数，则级数的敛散性为解：记，则因为（等价）且收敛，故收敛，所以绝对收敛.二．计算下列各题（每小题5分，共20分）1．求极限：解：2．求极限：解：其中（等价）（洛必达）（等价）3．设求解：.4．设求其中具有二阶导数且解：（一）；（二）三．计算下列各题（每小题6分，共18分）1．求解：2．求解：3．求解：四．（8分）设可微函数由方程确定，试讨论并求出的极大值和极小值.解：（一）方程①两边对求导，得②令，代入②，则有③由③解得或将代入①，得（注意到）；将代入①，得所以函数有两个驻点（二）②式两边关于再求导，得④将，，代入④，有，故为函数的极大值；将，，代入④，有，故为函数的极小值.五．（8分）判别级数的敛散性.解：记则因为，故是收敛的.六．（10分）曲线与直线相交于原点和点，垂直于轴且垂足为.（1）曲线分为两部分，证明：与的面积相等.（2）图形分别绕轴旋转的旋转体的体积比是多少？解：（1）联立解得或故；所以（2）；所以七．（10分）设函数在上连续且大于0，求证明：在上连续.解：（1）当时，；当时，（洛必达法则）其中（洛必达法则）所以综上（2）显然当时，连续；又因为（其中；（洛必达法则））故当时，也连续.所以，在上连续.八．（6分）设在上连续，在内可导，且，对任意，有，证明：存在，使（是自然数）.证明：令.则在上连续，在内可导，且故在上满足罗尔定理的条件.由罗尔定理知，存在，使，即亦即