2009年第4期河北理科教学研究问题讨论构造法证明不等式例析河北省乐亭二中王静063600由于证明不等式没有固定的模式，证法证明：由已知得a=0时，b≠C，否则与灵活多样，技巧性强，使得不等式证明成为中(a+c)(a+b+C)<0矛盾，故口=0时，(b学数学的难点之一．下面通过数例介绍构造—c)>4a(a+b+C)成立．当a≠0时，构法在证明不等式中的应用．’造二次函数f()=ax+(b—c)+(a十b1构造一次函数法证明不等式+C)，贝0有f(o)=a+b+C，f(一1)=2(a+如果所要证明的不等式中含有一个或多c)，而f(o)·f(一1)=2(a+c)(a+b+C)个一次的变量。此时可通过选择一个变量作<0．存在m，当一1<m<0时，f(m)=未知数，其它的变量成为参数，这样就可以和0，即二次函数厂()的图象与轴相交．一次函数建立直接联系，通过构造一次函数方程口+(b—c)+(a+b+C)=0有两式，利用一次函数的有关特性，完成不等式的个不相等的实数根．△：(b—C)一4a(a证明．+b+c)>0，即(b—c)>4a(a+b+c)．例1设0≤a，b，C≤2，求证：4a+b+3构造单调函数法证明不等式c+abc≥2ab+2bc+2ca．根据题意结构式构造与之相对应的单调证明：视a为自变量，构造一次函数函数式，再利用单调性的定义，完成要证的不f(a)=40+b+c+口bc一2ab一2bc一2c0等式．=(bc一2b一2c+4)a+(b+C。一2bc)，又例3已知。>0，b>0，求证：+f(o)=b+C一2bc=(b—c)≥0，f(2)=6口+6。b+C一4b一4c+8=(b一2)+(c一2)≥>‘0，．·．f(a)90，且口40+b+c+abc≥2ab+证明：构造函数／()=，易证26c+2ca．2构造二次函数法证明不等式厂()==1一当>0时单调递如果不等式中含有一元二次方程的判别增．Oo．a+b+ab>a+b>0，．·．I厂(a+b+式(△=b一4ac)的结构，就可以通过构造一口6)>f(。+6)．故+=元二次函数，利用二次函数的有关特性，可以简洁地完成不等式证明．(1+1b>1b=(n+6+口)(+)，+++06一、uTut例2实数a，b，c满足(a+c)(a+b+c)<0，求证：(b—c)>4a(a+b+c)．口6)>厂(¨6)=．·q·2009年第4期河北理科教学研究问题讨论4构造局部不等式证明不等式构造的辅助对偶式B=+1+如果所证不等式是多个变量的和式结构，并且每一个变量在不等式中所占地位是√++1，则有。A·=1且曰≥2+，从相同的，此时从整体上考虑难以下手，通过构而1=A·B≥(2+45)A，因此由A>0即可造若干个结构完全相同的局部不等式，再利得A≤2一，即不等式+1一用同向不等式相加的性质，即得证不等式．例4已知a1，a2，⋯，a均为正数，且√+1+1≤2一成立．⋯=·，求证：+6构造参数不等式证明不等式21an通过巧妙地引人参变量，把问题转化成一+≥‘重要不等式结构，把证明不等式问题转化成因+，对参数的讨论，使参数在不等式证明中起到a1十a，斗一a’十a102+口3nn20桥梁作用．此类证法适合通过配方化成若干n+01+T≥n2'⋯一’+T≥个平方和形式的不等式．例6已知a1，a2，⋯，a均为实数，且又因+·+=al+a2+···+an：A(A>0)，a12+a22+⋯吉(。。+n+⋯+。)=1，所以，把以上各A2(+。=n∈N，n≥2)，求证：O≤≤同向不等式相加，得a1丛十-_a，+a，十a+⋯+．(：12一，n)．+≥口⋯’=．故证明：一n。2：·+=口z++．．‘+≥+⋯+an2+t(al+a2+⋯+a一A)=(a2a1+a2a2+a3an+a1吉Z．t)+(口s+t)+⋯+(口+t)+tal5构造对偶式证明不等式+如果所证不等式中含有和为定值的结构—tA一≥一tA一①，又式，可以据此构造一些与它有内在联系的辅一一[卜2(助对偶式或直接构造对偶不等式，然后经过运算，促使问题的转化与解决．)]+(。一A)≤(。-一A)．而例5设>0，求证：+1—4一。。与f无关，即①式对￡∈R恒成立，所以A2√++l≤2一．一口z≥(n一A)．整理证明：设A=+一√++1，得n口l2—2alA≤0，解得o≤nl≤．同理·1n·2009年第4期河北理科教学研究问题讨论可求得0≤≤．(=1，2，⋯，n)ACI：tanIADI’tan．1cob7构造向量法证明不等式酶角平分线OD，DOA：，由