江苏省响水县响水中学潘卫伟均值不等式是我们证明不等式最有力的基本工一[(+警)+(+)+(+)]一cn具．本文从数学思想的角度，例谈均值不等式在证明无理不等式和分式不等式中的应用．+6+c)≥丢(26+2c+2n)一(n+6+c)一o．证毕．1换元后使用均值不等式例3设n、b、c是一个三角形的三边长，≥≥O，则在高考和竞赛中，对分式不等式和无理不等式的3+干b十c·证明，命题者往往情有独钟，屡见不鲜，由于分母或根分析：令X—(b+c)一fa，Y—(c+n)一fib，式中是多项式，常常使学生束手无策，往往求助于放缩法．也常因为放缩的技巧太强，放缩的“度”无法把z—(n+6)一c，则n一专，握，只能是望题兴叹．其实好多情况下，可通过换元，把无理不等式变为整式不等式，把分式不等式中分母6一一，是多项式的变为单项式处理，往往会收到意想不到的效果．不等缝式+右边q．(詈+詈)+(一一专例1设n、6、c均为正数，求证：+()二(兰兰)二+n1．_D≥昔．(1963年莫斯科数学竞赛题)。(十)(2-if)。(+)(2-if)分析：令6+c—X，c+n—Y，n+6一z，一[(兰1(主兰)(兰)]!二则n—Ty-}-y~mx6一Tx~z-y，Tx+y-z，，(“十)(2-if)即不等式≥，／(f+)(2一“)一2,l—if"证十毕‘．左边一丢(++)例4若n≥一丢，6≥一丢，且n+6—1，求证：一1[(詈+)+(詈+詈)+(+詈)一3]+～2≥号一右边．证毕．分析：令z一、／／玎，一、／／丽，贝UX+===4，(z+)≤2(z+)一8，例2洲u++。．．z+≤2证毕．≥O．(W．Janous猜测)以上例1～例4没有用到什么高深的知识和特殊分析：令a=y+z，6一z+x，c=x+y，的技巧，仅仅是用了换元思想，收到的效果是不言而喻的．特别是例2、例3，好多刊物上都可见到它的证一，一，z一，法，但大多数不是方法奇特，就是运算过程繁琐．换元b)4a(b-c)即不等式左边一b(c-a)4c(a-．．思想的实质就是把无理式化为整式，分式中分母是多项式的化为单项式，减少了化简时的运算量，增添了一丝+譬+一(n+6+c)解题的可操作性，真所谓“朴实无华”往往是最高的技巧．2寻找匹配因子．构造均值不等式寻找匹配因子，构造均值不等式，就是通过凑项≥4(ab+bc+ac)．嗣厩翊但个寺瓦．因--p明寻我，_匕明核心，就是．．．不等式得证．住两个为正值的代数式在特殊情况下相等这一特征．例8已知，，⋯，为互不相等的正整数，例如。、6为正值，当。一6时，一。，那么。是的一口口求证：+参+⋯十+x~-T1十,1十-⋯+．个匹配因子，即等+n≥26．分析：当一1，一2，⋯，一时等号成立，则Xi例5若>0，>0，z>O，则X2+22Z一{Z一时，等号成立，。+车1-V≥羔．(1988年国际友谊杯数学竞赛题．．．与互为匹配因子．一分析：当+妃—：．一时，一号一，．．·(去+)+(+爹)+⋯+(1十,Xn)一生4，一三2一一4，则-4也2一’+4一’4匹配，vv+目’≥2(+1+⋯+)，Z25E1与z丁+x匹配与x丁+y匹配'．．·．，++字··十2E2+⋯+≥2(+1+⋯+)一(去一+22+丁z+x+Z2++丁x+y≥+++⋯+＼．X2zH，+·’．．，，⋯，是个互不相等的正整数，．．++一≥学．+·1+1+⋯．．+≥++⋯+，例6设口，b,c∈”R+，且口6c一1，试证：1干≥．．．1=’-2~+⋯+≥1+1+⋯+．+++≥号．(第36届IMo试题)+上述例5～例8中匹配因子的寻找，无不体现两个为正值的代数式在特殊情况下相等的这一特点．当分析：左边一口D+—T-口C+老D口车1-DC+老C口1-OC，令然也要让寻找的匹配因子，在使用均值不等式时，便一，口c=，ab=名，于开方．则左边一圭V十+圭十+圭1-V，由例5可知，左边3等价转化后使用均值不等式≥学，又≥__3．例9已知a>O，b>O，c>O，求证：例7已知口，6，c6R+，求证：a5十b5十c5≥千++~／—bc(b—+c)口6+bc+ac．(《数学通报}2005年第9期问题征解1570)≤寻·_．b56，C5分析：本题看起来与均值不等式无缘，其实把不分析：当n一6一c时，G．5一n2—，一C2为，，fZ“等式化为了便于开方，与n6、n6、n6匹配，b5与6c、6c、6c匹需++≤导，配，C5与nc、nc、nc匹配，则+n6+n6+n6此时，左边≤专[(+)+