第一章§66.1A级基础巩固一、选择题1．给出以下四个结论：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．其中正确结论的个数是(B)A．4B．3C．2D．1[解析]①②④显然正确，③两条直线可能相交、平行或异面．2．若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l与α的位置关系是(D)A．平行B．垂直C．相交D．无法确定[解析]∵只知道l垂直于α内的两条直线，而没有指出两条直线的关系，∴l与α的位置关系无法确定．3．设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面(C)A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α[解析]该题考查立体几何中线线、线面、面面的平行与垂直，考查推理论证能力与空间想象能力．A选项可以mα，B可以mα或m∥α，C选项证明m⊥β，n⊥β，∴m∥n，又n⊥α，∴m⊥α，D可以mα.举反例说明命题错误，正确的命题要有充分的说理根据(证明)．4．若l，m，n表示直线，α，β表示平面，下列结论正确的是(D)A．若l⊥m，mα，则l⊥αB．若l⊥m，lα，mβ，则α⊥βC．若l⊥m，l⊥n，mα，nα，则l⊥αD．若l⊥β，lα，则α⊥β[解析]选项A中，由于m不是平面α的任一直线，不符合直线与平面垂直的定义，所以不正确；选项B用文字语言叙述为：如果分别在两个平面内的两条直线垂直，那么这两个平面垂直，很明显不正确；选项C中，由于直线m，n不一定是相交直线，所以不正确；选项D是平面与平面垂直的判定定理，所以正确．5．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是(C)A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC[解析]如图，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴A正确．由题设知BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE．∴DF⊥平面PAE．∴B正确．可知平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正确．6．用l，m表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个互不重合的平面，下列说法不正确的是(B)A．若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥βB．若l⊥m，lα，mβ，则α⊥βC．若α⊥γ，β∥γ，则α⊥βD．若l∥m，l⊥α，mβ，则α⊥β[解析]如图所示的长方体，AB⊥B1C1，AB平面AC，B1C1平面A1C1，但是平面AC∥平面A1C1，所以B不正确．二、填空题7．下列三个命题，其中正确结论的序号为__(1)(2)__．(1)平面α∥平面β，β⊥平面γ，则α⊥γ；(2)平面α∥平面β，β∥平面γ，则α∥γ；(3)平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α⊥γ．[解析]∵β⊥γ，∴在γ内作直线a垂直于β与γ的交线，∵α∥β，a⊥β，∴a⊥α，又aγ，∴γ⊥α，(1)正确；由传递性，(2)正确；而α⊥β，γ⊥β，α与γ相交或平行．∴(3)不正确．8．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有__AB，AC，BC__；(2)与AP垂直的直线有__BC__．[解析](1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC．(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，PA平面PAC．所以BC⊥AP．三、解答题9．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥BC，PD＝1，PC＝eq\r(2)．求证：PD⊥平面ABCD．[解析]转化为证明PD垂直于平面ABCD内的两条相交直线BC和CD．证明：∵PD＝DC＝1，PC＝eq\r(2)，∴△PDC是直角三角形．∴PD⊥CD．又∵PD⊥BC，BC∩CD＝C，BC平面ABCD，CD平面ABCD．∴PD⊥平面ABCD．10．如图，在三棱锥V－ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC．求证：平面VAB⊥平面VCD．[解析]证明：∵AC＝BC，∴△ACB是等腰三角形．又D是AB的中点，∴CD⊥AB．又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB．∵CD∩VC＝C，∴AB⊥平面VCD．又AB平面VAB，∴平