课题27图形的相似基础知识梳理中考题型突破易错一利用比例的性质时出现错误考点考点一比例线段3.比例的性质(1)基本性质: = ⇔①ad=bc(abcd≠0).(2)等比性质:如果 = =…= (b·d·…·n≠0,且b+d+…+n≠0),那么 =② .(3)合比性质:如果 = ,那么 = .4.黄金分割若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果 = ,那么称线段③AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的④黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,其中 = ≈⑤0.618.考点二相似三角形的性质及判定2.相似三角形的性质及判定3.判定两个三角形相似的思路  考点三相似多边形考点四位似图形3.利用位似图形的性质将一个图形放大或缩小,其步骤如下:(1)以位似中心为射线的端点画射线,并使各条射线分别经过原图形上的关键点;(2)根据位似比确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点;(3)顺次连接各对应点,则得到原图形的位似图形,由此即可把一个图形放大或缩小.考点五相似三角形的应用相似三角形的性质在实际生活中有着广泛的应用,例如利用相似三角形对应边成比例的性质可以测量某些不容易直接测量的物体的长度或高度.题型一考查比例线段该题型主要考查比例线段的内容,包括平行线分线段成比例定理,线段的比,利用线段的比进行计算等.典例1(2018河北石家庄模拟)对于平行线,我们有这样的结论:如图1,AB∥CD,AD,BC交于点O,则 = .请利用该结论解答下面的问题:如图2,在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求AC的长. 答案过点C作CE∥AB交AD的延长线于E,如图所示. 则 = .又∵BD=2CD,AD=2,∴ = ,解得DE=1.∵CE∥AB,∴∠E=∠BAD=75°.又∠CAD=30°,∴∠ACE= (180°-∠CAD)=75°.∴AC=AE=3.名师点拨本题的求解关键有两点:①根据题意添加辅助线.由于题目中没有平行线而无法运用平行线分线段成比例定理,因此通过作平行线构造满足该定理的基本图形,这也是添加辅助线的常用方法;②注意线段的代换.分析求证结果发现,难以找到AC与其他已知线段的联系,为此需要考虑线段的代换或比的代换,为此需要证明△ACE为等腰三角形.变式训练1如图,在△ABC中,点D为AC上一点,且 = ,过点D作DE∥BC交AB于点E,连接CE,过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB=15,则EF= . 解析∵DE∥BC,∴ = .∵ = ,∴ = ,∴ = ,即 = ,解得AE=10.∵DF∥CE,∴ = ,即 = = ,解得AF= .∴EF=AE-AF=10- = .题型二考查相似三角形的性质与判定该题型主要考查相似三角形的性质与判定,主要内容有:相似三角形的判定定理,相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质,相似三角形对应边上的高、中线、对应角的平分线对应成比例,相似三角形的面积之比等于相似比的平方等.典例2(2018湖南株洲中考)如图,Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM=AN.(1)求证:Rt△ABM≌Rt△ADN;(2)线段MN与线段AD相交于T,若AT= AD,求tan∠ABM的值. 答案(1)证明:∵AB和AD均为正方形ABCD的边,∴AD=AB,∵AM=AN,∴Rt△ABM≌Rt△ADN(HL).(2)由(1)得∠DAN=∠BAM,DN=BM.∵∠BAM+∠DAM=90°,∠DAN+∠ADN=90°,∴∠DAM=∠ADN.∴ND∥AM.∴△AMT∽△DNT.∴ = .∵AT= AD,∴ = .∴在Rt△ABM中,tan∠ABM= = = .变式训练2(2017秦皇岛模拟)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始,沿AB边以1cm/s的速度向点B运动;点Q从点B开始,沿BC边以2cm/s的速度向点C运动,当点P运动到点B时,运动停止,如果P、Q分别从A、B两点同时出发.(1)问几秒后,△PBQ的面积等于8cm2?(2)问几秒后,以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似? 答案(1)设t秒后,△PBQ的面积等于8cm2,此时,AP=tcm,BP=(6-t)cm,BQ=2tcm.∵S△PBQ= BP·BQ,即 (6-t)·2t=8,解得t1=2,t2=4.∴2秒或4秒后,△PBQ的面积等于8cm2.(2)设x秒后,以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似,此时,AP=xcm,BP=(6-x)cm,BQ=2xcm.当△BPQ∽△BAC时, = ,即 = ,解得x=3;当△