课题25矩形、菱形基础知识梳理中考题型突破易错一对矩形的判定定理没有充分理解考点备考策略:1.纵观近几年河北省中考试题,对矩形、菱形的考查,选择题、填空题、解答题都有出现,以选择题居多,在解答题中多与其他知识(锐角三角函数、圆、函数等)综合考查,涉及面广,所以要熟练掌握矩形、菱形的性质与判定,理解矩形、菱形之间的关系,培养学生分析问题、解决问题的能力.2.预计2019年河北中考试题与矩形、菱形内容相关的题型比较灵活,综合性较强,比如结合其他几何图形、函数等知识,解决一些开放性的问题,侧重对解题能力的考查.考点一矩形的性质与判定2.矩形的判定(1)有一个角是直角的④平行四边形是矩形.(2)有三个角是⑤直角的四边形是矩形.(3)对角线⑥相等的平行四边形是矩形.▶温馨提示矩形的前两个判定条件都是根据角的特征判定,但这两个判定条件面对的对象不同,其中(1)是平行四边形,(2)是四边形,在应用时要注意区分.1.菱形的性质:因为菱形是特殊的平行四边形,所以菱形具有平行四边形的所有性质,另外菱形还具有下列性质:(1)边:菱形的对边平行,四条边都相等.(2)角:菱形的对角相等.(3)对角线:菱形的对角线互相⑦垂直平分,每条对角线⑧平分一组对角.(4)对称性:菱形既是轴对称图形又是中心对称图形.(5)面积计算:S=⑨ l1·l2(l1、l2分别表示菱形两对角线的长),S=ah(a、h分别表示菱形的一边长和这条边上的高).2.菱形的判定(1)有一组⑩邻边相等的 平行四边形是菱形.(2) 四条边都相等的四边形是菱形.(3)对角线互相 垂直的 平行四边形是菱形.题型一考查矩形的性质与判定该题型主要考查矩形的性质与判定,主要内容包括利用矩形的性质进行计算或推理,根据已知条件判定某个四边形是矩形,利用矩形的性质解决实际问题等.典例1(2018广西玉林中考)如图,▱ABCD中,DC>AD,四个角的平分线AE,DE,BF,CF的交点分别是E,F,过点E,F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN',在DC与AB上的垂足分别是M,N与M',N',连接EF.(1)求证:四边形EFNM是矩形;(2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF的长. 答案(1)证明:过点E,F分别作AD,BC的垂线,垂足分别是G,H,如图所示. ∵∠3=∠4,∠1=∠2,EG⊥AD,EM⊥CD,EM'⊥AB,∴EG=EM,EG=EM'.∴EG=EM=EM'= MM'.同理可证:FH=FN=FN'= NN'.∵CD∥AB,MM'⊥CD,NN'⊥CD,∴MM'=NN',∴EM=FN=EG=FH.又∵MM'∥NN',MM'⊥CD,∴四边形EFNM是矩形.(2)∵DC∥AB,∴∠ADC+∠DAB=180°.∵∠3= ∠ADC,∠2= ∠DAB,∴∠3+∠2=90°,∴∠AED=90°.在Rt△DEA中,∵AE=4,DE=3,∴AD= = =5.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠DCB.又∵∠2= ∠DAB,∠5= ∠DCB,∴∠2=∠5.由(1)知,GE=NF.在△GEA和△NFC中,∵ ∴△GEA≌△NFC(AAS),∴AG=CN.在Rt△DME和Rt△DGE中,∵ ∴Rt△DME≌Rt△DGE(HL).∴DM=DG.∴DM+CN=DG+AG=AD=5,∴MN=CD-DM-CN=9-5=4.∵四边形EFNM是矩形,∴EF=MN=4.名师点拨本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、角平分线的性质、勾股定理及三角形全等的判定.题目综合性较强,需认真分析.如在(1)中,要说明四边形EFNM是矩形,已经有ME⊥CD,FN⊥CD的条件,还缺ME=FN.过点E,F分别作AD,BC的垂线,垂足分别是G,H.利用角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论.变式训练1(2018石家庄模拟)在▱ABCD中,BE⊥CD于点E,点F在AB上,且AF=CE,连接DF.(1)求证:四边形BEDF是矩形;(2)连接CF,若CF平分∠BCD,且CE=3,BE=4,求矩形BEDF的面积. 答案(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∵AF=CE,∴AB-AF=CD-CE,即BF=DE,∴四边形BEDF是平行四边形.又∵BE⊥CD,∴∠BED=90°,∴平行四边形BEDF是矩形.(2)∵CF平分∠BCD,∴∠BCF=∠DCF.∵AB∥CD,∴∠BFC=∠DCF.∴∠BCF=∠BFC,∴BC=BF.在Rt△BCE中,BC= = =5,∴BC=BF=5.∴S矩形BEDF=BF·BE=5×4=20.题型二考查菱形的性质与判定该题型主要考查菱形的性质与判定,主要内容包括利