第26卷第5期理工高教研究Vol.26No.52007年10月JournalofTechnologyCollegeEducationOctember2007引导学生理解信号频谱的概念和意义国防科学技术大学刘芸李宗伯刘芳摘要:针对教学难点,就如何引导学生有效理解信号频谱的概念和频域分析的意义,提出信号频域分析的教学思路和方法。即先用单个正弦信号说明频谱的定义,从信号分解的角度理解频谱与信号的关系,再分析周期信号频谱的特点,进而引导出求非周期信号频谱的傅里叶变换,说明其意义,通过傅里叶变换的性质强调频域分析的实际应用。在信号与系统课程中,连续时间信号与系统的频域分析这部分内容是本课程的重点学习内容,涉及傅里叶级数、傅里叶变换、系统的频域分析和抽样定理等。从这一章节起,学生开始学习信号与系统的变换域分析方法,为后续复频域分析、离散时间信号与系统的频域分析和复频域分析等内容的学习打好基础。在学习这部分内容时,学生往往容易陷入到繁琐的数学推导和计算中,而忽视了对概念、公式和结论所含物理意义的理解。信号频谱是本章节中最重要的概念之一,也是教学的难点。如何有效地引导学生理解信号频谱的概念和频域分析的意义,以下谈谈我们在实践中总结的教学思路和方法。一、用单个正弦信号来说明频谱的定义信号的频谱就是信号的频域表示,是关于频率的幅度函数和相位函数,这两个函数分别称为幅度谱和相位谱,它们完全反映了信号的特性。学生比较容易理解信号的时域表示方式,即用时间函数或波形来描述信号的特性,为了让学生建立起频谱的初步概念,可以用单一正弦信号与其频谱来说明。例如考虑用余弦函数表示的正弦信号x(t)x(t)=Acos(1t+1)=Acos(2f1t+1)(1)x(t)可以用三个参数表示其特征:振幅A、初相位1和频率f1(或角频率1=2f1)。如果以频率(角频率)作为变量,可以画出作为频率函数的幅度和初相位的波形,如图1所示,它们就是x(t)的幅度谱A(f)和相位谱(f),即频谱。已知信号频谱(图1(b)),可以画出信号的时域波形(图1(a)),或写出信号的时间函数,因此可以说频谱是信号的一种表示方式,称为频域表示。这里要提醒或强调:频率和频谱是与正弦波对应的。图1信号x(t)=4cos[2(5)t-3]的波形和图1(b)所表示的是单边谱,它是和余弦函数相对应的。为了引出双边谱的概念,将式(2)表示为Ajj2ftA-jj(-2f)tx(t)=Acos(t+)=e1e1+e1e1(2)1122AjA-j式(2)说明余弦函数可以表示成两个复指数函数的和,其中复数e1与频率f有关,e1与频率-f有关,即它们是频2121率的函数。这些复数的模和辐角分别称为余弦信号的双边幅度谱和相位谱,如图2所示。余弦函数的幅度值是双边幅度谱在正频率的值的两倍,余弦函数的相位值是双边相位谱在正频率的值,因此,正弦信号的幅度和相位很容易从双边谱确定。这里要强调:双边谱中的负频率项,并不意味着存在负频率,而是为了用复指数函数表示正弦信号而引入的。二、从信号分解的角度来理解频谱与信号的关系在以单一正弦信号建立起频谱概念的基础上,我们可以用由多个正弦信号叠加组成的信号波形和其频谱举例,进一步说120刘芸李宗伯刘芳:引导学生理解信号频谱的概念和意义图2图1所示信号的双边谱明信号频谱表示的意义。例如x(t)=5cos[2(5)t]+cos2(10)t-+3cos2(15)t+(3)143式(3)表示x1(t)可以分解为三个不同频率的余弦函数之和,它的波形和频谱如图3所示。单从x1(t)的时域波形,看不出信号是由哪些余弦函数叠加而成。如果已知信号的频谱,则可以很清楚地了解信号所含各频率余弦函数分量的大小和相位,同时,也可以根据频谱写出x1(t)的时域表达式。可见,信号的频谱表示与信号的时域函数或波形表示是完全相当的,而且信号频谱所反映的某些特性,如包含不同频率分量的幅度和相位特性,要比时域表示更加清晰有效。图3x1(t)的波形和频谱三、由傅里叶级数分解来分析周期信号频谱的特点周期为T1、基频为1=2f1=2T1的周期函数f(t),满足狄义赫利条件,可分解为傅里叶级数f(t)=c+ccos(n+)(4)0n1nn=1式(4)为三角形式傅里叶级数,其中c0相当于频率为0的余弦函数分量。因此,完全可以在以频率为变量的轴上分别画出每个余弦函数分量(也称为谐波分量)的幅度和相位,即频谱。通过把余弦函数表示成共轭复指数函数