<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（ab）c=a（bc）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有ea=a.（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1a=e.则称G对代数运算做成一个群。2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）=ab+ac，（b+c）a=ba+ca.其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R.如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。整数环Z及域F上多项式环F[x]都是惟一分解整环。6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K–{0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq+r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。-------------7、素理想：设R是一个交换环，P◁R.如果ab∈P=>a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。8、主理想：设R是一个环，任取a∈R，R中包含a的全部理想的交也是R的一个理想，且是R的包含元素a的最小理想，并称其为R的由a生成的主理想，记为<a>.9、理想：设N是环R的一个子加群，即对N中任意元素a，b，差a-b仍属于N，如果又有r∈R，a∈N=>ra∈N，则称N是环R的一个左理想；如果r∈R，a∈N=>ar∈N，则称N是环R的一个右理想；如果N既是R的左理想又是右理想，则称N是环R的一个双边理想，简称理想，并用符号N◁R表示。否则记为N◁R.10、商群：群G的正规子群N的全体陪集对于陪集的乘法作成一个群，称为G关于N的商群，记为G/N.11、主理想环：设K是一个有单位元的整环。如果K的每一个理想都是一个主理想，则称K是一个主理想整环。整数环和域F上的多项式环F[x]都是主理想整环。但是，整数环Z上的多项式环Z[x]不是一个主理想整环。二、填空（30’）1、集合M的一个分类决定M的一个等价关系。2、集合M的一个等价关系决定M的一个分类。3、设G是一个半群，则G作为成群的充要条件是，对G中任意元素a、b，方程ax=b,ya=b在G中都有解。4、群G的一个非空子集H作成子群的充要条件是：（1）a，b∈H=>ab∈H;（2）a∈H=>a-1∈H.5、设H,k是群G的两个子群，则HK≤GHK=KH.6、整数加群Z是无限循环群。7、无限循环群<a>有两个生成元，即a与a-1；n阶循环群有ψ（n）个生成元，其中ψ（n）为Euler函数。例如，4、5、6阶循环群分别有ψ（4）=2，ψ（5）=4，ψ（6）=2个生成元。8、设<a>是任意一个循环群。（1）若|a|=∞，则<a>与整数加群Z同构；（2）若|a|=n，则<a>与n次单位根群Un同构。9、循环群的子群仍为循环群。10、不相连循环相乘时可以交换。11、k—循环的阶为k；不相连循环乘积的阶为各因子的阶的最小公倍。12、（J.L.Lagrange，1736—1813）设H是有限群G的一个子群，则|G|=|H|（G：H）.从而任何子集的阶和指数都是群G的阶的因数。13、有限群中每个元素的阶都整除群的阶。14、左陪集的重要性质（1）a∈aH.（2）a∈HaH=H.（3）b∈aHaH=bH.（4）aH=bH，即a与b同在一个左陪集中a-1b∈H（或b-1a∈H）。（5）若aH∩bH≠φ，则aH=bH.对任二陪集来说，要么相等要么无公共元素。15、循环群的商群也是循环群。16、（第一同构定理）设ψ是群G到G的一个同态满射，又KerψN◁G，N=ψ（N），则G/N≌G/N.17、（第二同构定理）设G是群，又H≤G，N◁G.则H∩N◁H，并且HN/N≌H/(H∩N).18、（第三同构定理）设G是群，又N◁G，H≤G/N.则（1）存在