西南大学附中2022—2023学年度下期期末考试高一数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则（）A.B.C.D.2.中，角的对边分别为，若，，，则（）A.30°B.60°C.120°D.150°3.若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（）A.相交B.平行C.异面D.相交或异面4.若向量，满足，，，则（）A.2B.3C.4D.55.正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则该四棱台的体积为（）AB.C.D.566.△ABC中，D为AB上一点且满足，若P为线段CD上一点，且满足（，为正实数），则的最小值为（）A.3B.4C.5D.67.M为△ABC所在平面内一点，且，则动点M的轨迹必通过△ABC的（）A.垂心B.内心C.外心D.重心8.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，，E为PD的中点，点N在平面PAC内，且NE⊥平面PAC，则点N到平面PAB的距离为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面的直径，，与底面所成的角为，则（）A.B.该圆锥的母线长为C.该圆锥的体积为D.该圆锥的侧面积为10.已知复数，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若和互为共轭复数，则C.若，则D.11.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，O为内一点，则下列结论正确的是（）A.B.若，则内切圆的半径为2C.若，则D.若，，则12.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD为等边三角形，PA＝2，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（）A.平面PAD⊥平面PCDB.存在点M使得BD⊥AMC.当M为线段PC中点时，过点A，D，M的平面交PB于点N，则四边形ADMN的面积为D.的最小值为4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，若（为虚数单位）实数，则____________．14.已知，，若，则____________．15.正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，点S、A、B、C、D都在同一个球的球面上，则该球的表面积为____________．16.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点．在中，已知，设为的费马点，且满足，．则的外接圆半径长为____________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，正三棱柱的各棱长均为1，点E为棱的中点．（1）证明：平面；（2）求异面直线和AC所成角的余弦值．18.在中，角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，ABC＝90°，AB＝DP＝2，DC＝BC＝1．（1）证明：AD⊥PB；（2）求直线PC与平面PAB所成角正弦值．20.如图，四边形ABCD中，．（1）若AB＝3，，求△ABC的面积；（2）若，，，记∠BAC为θ，求θ的值．21.如图1，在四边形中，，为上一点，，，，将四边形沿折起，使得二面角的大小为，连接，，得到如图2．（1）证明：平面平面；（2）点是线段上一点，设，且二面角为，求值．22.记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求；（2）记△ABC面积为S，求的最大值．