西南大学附中2023—2024学年度上期期中考试高三数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整，3、考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据偶次根号下大于等于零求解集合A，根据指数函数值域求解集合B，再利用并集运算求解即可.【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以.故选：C.2.已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.【详解】因为扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为.故选：D.3.如图，正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取中点，连接，，易证，所以（或其补角）即为与所成角，在中即可求解.【详解】取中点，连接，，在正三棱柱中，四边形为平行四边形，因为，分别是，的中点，所以四边形为平行四边形，所以，所以（或其补角）即为与所成角，设，则，在正三棱柱中，因为是的中点，所以，，，所以，故，在中，，所以，异面直线与所成角的余弦值为.故选：B4.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用充分条件和必要条件定义判断.【详解】解：若，则，故不充分；当时，无意义，故不必要，故选：D5.若，，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项，利用基本不等式可判断B选项，利用二次函数的基本性质可判断CD选项.【详解】因为，，，对于A选项，，则，A错；对于B选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，故，B对；对于C选项，，当且仅当时，等号成立，C错；对于D选项，，当且仅当时，等号成立，D错.故选：B.6.正四棱锥的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据正四棱锥和球的几何性质可以判断出球心在正四棱锥的高线上（或延长线上），最后根据勾股定理解出球的半径，最后利用球的表面积公式进行求解即可.【详解】令正四棱锥的底面棱长为，根据题意可得，解得.设是正四棱锥的高，是正四棱锥的外接球的球心，则在上（或的延长线上），则有，设球的半径为，因此，显然（或者），在正方形中，，由勾股定理可知：，因此该四棱锥的外接球的表面积为.故选：C7.一个蛋糕店制作一个大型蛋糕，蛋糕是由多个高度均为0.1米的圆柱形蛋糕重叠而成，上层蛋糕会覆盖相邻下层蛋糕的上底面一半的面积，最底层蛋糕的半径为1米.若该蛋糕的体积至少为0.6立方米，则蛋糕至少需要做的层数为（）（其中）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】设蛋糕需要做层，则每层圆柱形蛋糕的底面半径组成首项为1，公比为的等比数列，求出层蛋糕的体积，由求出的范围即可．【详解】设蛋糕需要做层，则每层圆柱形蛋糕的底面半径组成首项为1，公比为的等比数列，每层圆柱形蛋糕的高都是0.1米，各层的体积也构成等比数列，所以这层蛋糕的体积为，因为该蛋糕的体积至少为0.6立方米，所以，所以，由于单调递增，且，而，解得，，所以蛋糕至少需要做的层数为5层．故选：C．8.设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．【详解】函数的定义域为，由，得，所以，令，由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由，得，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，没有最小值，由，得，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以即，所以，即m的取值范围为．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.