第二部分专题学习与训练专题学习一数形结合一、专题概述数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想，我们知道，数轴使得实数与数轴上的点之间建立了一一对应关系；平面直角坐标系使得平面上的点与有序实数对之间建立了一一对应关系，这些都是“数”与“形”转化的桥梁。数量关系如能有效地结合图形，往往会使抽象问题直观化，复杂问题简单化，巧妙地应用数形结合的思想方法来处理一些抽象数学问题，可起到事半功倍的效果，达到优化解题途径的目的。在选择题，填空题中，数形结合更能显示出其简捷的优越性，在近几年解答题中也加大了对数形结合思想的考查。二、典题精析例1．如图：“数轴上的点并不都表示有理数，图中数轴上的点P所表示的数是”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（）A、代入法B、换元法C、数形结合的思想方法D、分类讨论的思想方法〖剖析〗本题考查对数学思想方法概念的理解，利用勾股定理，作出数轴上表示的点，说明数轴上的点并不都表示有理数。答：C例2．如图：已知函数的图象经过和两点，试确定的取值范围。〖剖析〗通过二次函数图象，列方程组来解决问题，使问题形象化，直观化。解：由图象可知，二次函数图象开口向上，又因为二次函数图象经过点和，所以即得而所以所以即故例3．求的最小值。〖剖析〗从函数的形式来看，可以看作是以为直角边的三角形的斜边，此题可归结为求两直角三角形斜边和的最小值，于是可构造图形来解答。解：构造如图所示的直角三角形△PAC，△PBD，使AC＝1，BD＝2，PC＝x，PD＝4-x，于是由勾股定理得：，求最小值转化成：在m上求一点P，使PA+PB的和为最小。取A关于m的对称点，则有即。例4．（2008.内江）如图：当四边形PABN的周长最小时,。〖剖析〗要使四边形的周长为最小，因为PN和AB的长都一定，只需PA与NB的和最小即可，能否考虑把PA与NB这两条线段转化到一条线段上，通过平移和轴对称可以达到这一目的。解：把点向左平移两个单位得再作关于x轴的对称点，连结与x轴相交于点P，连结显然由作图过程可得，，设直线的解析式为，把、代入得，∴直线的解析式为，令得，∴例5．阅读并解答下列问题：（1）在直角三角形中，已知两边长分别为6和8，则第三边长为_____________,你解答此题的依据是_________________。(填文字依据)（2）如图所示的拼图证明了该定理。你会吗？请你写出证明过程。（3）由此看来，利用几何拼图的方法，有时可以巧妙地证明代数关系式。请用拼图的方法证明下题：已知为正数，证明+>〖剖析〗（1）中，注意分清谁是斜边；（2）中，可考虑用面积法求解；（3）能否巧妙地把不等式的两边的三个项用一个三角形的三条边来表达，运用两边之和大于第三边来找到解题策略。解：（1）10或，勾股定理（2）由图可知△ACE是等腰直角三角形，，即，整理得：（3）构造如图所示的矩形ABCD，EF、GH分别与边平行，由勾股定理可得：BG=，GF=，BF=，在△BFG中，∵，∴+>三、综合巩固练习1、如图：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=900，且，AB是⊙O的直径，则直线CD与⊙O的位置关系为（C）A、相离B、相切C、相交D、无法确定2、在△ABC中，∠C=900，BC=2，则边AC的长是（A）A、B、3C、D、3、（2008.广安）“5．12”汶川地震发生后，某天广安先后有两批自愿者救援队分别乘客车和出租车沿相同路线从广安赶往重灾区平武救援，下图表示其行驶过程中路程随时间的变化图象．（1）根据图象，请分别写出客车和出租车行驶过程中路程与时间之间的函数关系式（不写出自变量的取值范围）；（2）写出客车和出租车行驶的速度分别是多少？（3）试求出出租车出发后多长时间赶上客车？解：（1）客车行驶过程中路程和时间的函数关系为：y=40x，出租车行驶过程中路程和时间的函数关系为：y=100（x-2）；（2）客车行驶的速度为40千米/小时，出租车行驶的速度为100千米/小时；（3）由题意得：40x=100x-200，解得x=，∴x-2=，即出租车出发小时后赶上客车。4、如图：已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/S的速度向点D移动，一直到点D为止。问：（1）P、Q两点从出发点开始几秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2；（2）P、Q两点从出发点开始到几秒时，点P、Q间的距离是10