实数的性质及其运算1．了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、绝对值的意义；(重点)2．理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能进行实数的大小比较．(重点、难点)一、情境导入如图所示，小明家有一正方形厨房ABCD和一正方形卧室CEFG，其中正方形厨房ABCD的面积为10平方米，正方形卧室CEFG的面积为15平方米，他想知道这两个正方形的边长之和BG的长是多少米，你能帮他计算出来吗？二、合作探究探究点一：实数与数轴的关系【类型一】求数轴上的点对应的实数如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是－1和eq\r(,3)，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．解析：首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数．解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和eq\r(,3)，∴点B到点A的距离为1＋eq\r(,3).则点C到点A的距离也为1＋eq\r(,3).设点C表示的实数为x.则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋eq\r(,3)，∴x＝－2－eq\r(,3).∴点C所表示的实数为－2－eq\r(,3).方法总结：本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值．【类型二】利用数轴进行估算如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是eq\r(,2)和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有()A．6个B．5个C．4个D．3个解析：∵eq\r(,2)≈1.414，∴eq\r(,2)和5.1之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．故选C.方法总结：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．【类型三】结合数轴进行化简实数在数轴上的对应点如图所示，化简：eq\r(a2)－|b－a|－eq\r(（b＋c）2).解析：由于eq\r(a2)＝|a|，eq\r(（b＋c）2)＝|b＋c|，所以解题时应先确定a，b－a，b＋c的符号，再根据绝对值的意义化简．解：由图可知a<0，b－a>0，b＋c<0.所以，原式＝|a|－|b－a|－|b＋c|＝－a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c.方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a＞0），,0（a＝0），,－a（a＜0）.))探究点二：实数的性质求下列各数的相反数和绝对值：(1)eq\r(5)；(2)eq\r(2)－eq\r(3)；(3)－1＋eq\r(3).解析：根据相反数、绝对值的定义求解．解：(1)eq\r(5)的相反数是－eq\r(5)，绝对值是eq\r(5)；(2)eq\r(2)－eq\r(3)的相反数是－eq\r(2)＋eq\r(3)，绝对值是－eq\r(2)＋eq\r(3)；(3)－1＋eq\r(3)的相反数是1－eq\r(3)，绝对值是－1＋eq\r(3).方法总结：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数时，只需在这个数的前面加上“－”号再去括号即可．求一个数的绝对值，需要分清这个数是正数、0还是负数．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．探究点三：实数的运算计算下列各式的值：(1)2eq\r(3)－5eq\r(5)－(eq\r(3)－5eq\r(5))；(2)|eq\r(3)－eq\r(2)|＋|1－eq\r(2)|＋|2－eq\r(3)|.解析：按照实数的混合运算顺序进行计算．解：(1)2eq\r(3)－5eq\r(5)－(eq\r(3)－5eq\r(5))＝2eq\r(3)－5eq\r(5)－eq\r(3)＋5eq\r(5)＝(2eq\r(3)－eq\r(3))＋(5eq\r(5)－5eq\r(5))＝eq\r(3)；(2)因为eq\r(3)－eq\r(2)＞0，1－eq\r(2)＜0，2－eq\r(3)＞0，所以|eq\r(3)－eq\r(2)|＋|1－eq\r(2)|＋|2－eq\r(3)|＝(eq\r(3)－eq\r(2))－(1－eq\r(2))＋(2－eq\r(3))＝eq\r(3