1984年第三期。、中角的比较也用了传递术BC,在匕BAC所夹的.。户2变形术量系通产润、、、将多个的关过恒等变。护一.B‘,不超过90的C上任意形转化为两个量间的关系以利于比较大,。取一点P过P的切线被小,几上在变形过程中往往引起何图形的、火二夕A。BAC截成线段MN化,使比大简方变较小变得易便8。i3图,,一如例4论题涉及四个量而通过变形(图8)…m(AB+.转化为AE和AF两个量,其关系是显然的了.例D为△ABC形AC)<MN<工(AB十AC)内一点,且DB一DC2,,=AB一AC则乙BAD证AM+AN>MNAB*A。.十+=>乙CADAMMNAN),+Z证如图7作AE冷ABAC>MN,。二二。。ACDPDCBC蕊90户乙MAN)90乡MN是得=B.易BEP△AMN最大边冷。乙l二乙=由互补关系得AEF3MN>AM十MN十ANAB十AC.进而有‘l>乙2冷DE>DP=DC乡+)在△AED和△ADC中使用定理即可ABAC>ZMN。得证‘A“+AC’<MN<工(AB+可见使用变形术有两种基本情况:一是雪2。题断涉及多个量而变形,二是题设中涉及多AC)。个量,这时须巧用条件适当变形而无论何其中3MN的系数8是依题断及推理过。。种变形总是伴随着图形的变换程发挥而生。,3.借题发挥术指一些特殊情况下推理以上诸条方法与技巧经常是联合运用,。技巧的灵活运用多体现为对题设或题断作以创设使用某些定理的情境使证不等变得。。某种必要的发挥简单易行.例8自0外一点A引切线与圆切于:0(作者单位河北省瘩山教育学院)用三角法证明线段间的不等关系陆志昌、、本文介绍如何运用三角法证明线段间的正弦定理余弦定理面积公式,以及锐角。。不等关系,其方法和步骤如下三角函数定义等.、.1首先从图形中选取几个元素(如边3将所列出的三角函数式进行分析比、、、、角半径高角平分线中线等)作为基较,在此往往利用证明不等式的基本方法:、、,本元素,它们应当和已知求证中的有关元比较法放缩法等也要用到三角函数的主。。素具有较密切的联系要性质等知识.、.2再用所设的基本元素表示与已知求例1已知正方形ABCD中,M在CD。证有关的元素,列出关系式,当中往往用到上,延长AM交BC于N(图1)。·26中等数学:+。,求证AMAN‘A年90BD一AC于。.">ZACD,CE工AB于E求证:。证明令正方形边长AC+BD>AB+CE,二,为a乙CANa贝11证明在△ABC中,二乙N‘DAN=a,令BC则C二45“一a-\好asin=,=ABCa一红AC了厄AC,5InA二aAM“。eos45一a)asinACB(AB二,“5n在△ACN中乙ACN=135iA2asfll35。B,二了ia又在R七△CD和Rt△CBE中AN0一a“,,5in(45)5in(45一a)BD=asinACBCE=asinABC一=于是ACAB故AM+ANa1〔eos45“一a1()(asinABC一a吕inACB)8inA1互匕里凶旦些a.。一.5n45a〕COS以l一i()乙(CEBD)5inA。。。。:0<“<45,0<2“<90,且a<2“丫AC>AB,即AC一AB>0,“a.~‘.⋯oeosZeo日1’“。。(<些丝)又.’0<A<180,且乙A斗90,COS艺“:。O<slnA<1+a二.故2ZZ.AMAN>侧AC从而AC一AB>CE一BD。,二例2中乙90、.在直角△ABCC即AC+BD>AB+CE.:一:‘.ACDAB求证,例4已知在四边形十+ACBC<ABABCD中,AB二AC,。CD匕BD)DC,乙BAC二B么J矛.;证明设=C乙BDC求证,a,则AC=atgB=,图2BABaseeBCDA>生(BD+DC).2二asinBAC+BC一(AB+CD)证明因乙BAC=乙BDC,故ABCD=a七gB+a一(aseeB+asinB)内接于圆,令圆的半径为R,乙CAD=气5n+eo8一一sneosiBB1iBB.乙ABD二户根据几何定理,易知乙ACBCosB=a+月。一eo8一sn.(Bl)(1iB)=ona+.Zia于是ABR(p)eo8B,,同法可知BD=ZRsin(a+2月)‘,eos一.’为:’lo=a·B锐角B<DCZRsin1一5inB>0,eo8B)0,:.(BD+)=sin(“+2)