会计学这里，这样可用自由电子的波函数代替电子的零级波函数，用微扰论求解Shodinger方程，这样一种物理模型称之为近自由电子模型或准自由电子模型，这也就是Sommuefeld的自由电子模型再加上弱周期(zhōuqī)势的修正。2、能隙的起因对于一维点阵（点阵常数为a），电子的波函数若k远离Bz边界时（即时），电子波不受Bragg反射，从各原子散射的波没有确定的位相关系，对入射波的传播无什么(shénme)影响，与x-ray在晶体中的传播是相同的。但当时，如，此时平面波满足Bragg条件，波程差为2a，相位差为2π，从相邻的原子反射的波有相同的位相，发生相长干涉，产生向反方向传播的波，这个波同样受到其近邻原子的Bragg反射，再一次反向，这样就形成了向相反(xiāngfǎn)方向传播的两列行进波，平衡时两波叠加形成驻波。有两种形态的驻波：这是由自由电子的行波在Bz边界上的Bragg反射而形成(xíngchéng)的，两个驻波使电子聚积在不同的区域内。下面我们(wǒmen)分别计算一下这两种情况下电子的平均能量。∵ρ（+）这种分布时的能量低，ρ（-）分布时能量高，电子的平均能量是不同的，没有周期势场的Ｅ-k曲线是一条抛物线，在有周期势场存在时，在Bz边界上分裂成两个波函数，相应的能量也分成两个，一个E+、一个E-，可以证明，对的电子的能量与的电子的能量是不同的，这个能量差就是能隙，这个能隙就是所谓的禁带。为简单起见，我们考虑势场是谐和(xiéhé)势（简谐势）对于L=1的单位晶体：==为归一化因子，对ρ（+）.ρ（-）计算平均能量ρ（+）:ρ（+）ρ（-）:ρ（-）ρ（+）-ρ（-）=(-)=实际的势场并非是上面的简单(jiǎndān)形式，而是一个复杂函数，但可用倒易点阵矢量展成付氏级数，展成余弦势的叠加，在一级近似下，在Bz边界都有能量间隙。=能隙的大小等于相应的傅立叶分量，Un是收敛的，能隙的宽度越来越小。§2、Bloch定理在存在周期性势场时，电子满足(mǎnzú)的Shodinger方程为:其中=(+)Bloch定理是关于周期势场中单电子Shodinger方程的本征解的形式的问题。Bloch定理：对于一个周期势场，单电子Shodinger方程(fāngchéng)的解必定具有形式：=即波函数为一个周期性函数与一个平面波相乘的形式，其中是一个具有晶体点阵周期性的函数。=（+）为点阵平移矢量。把波函数平移点阵平移矢量可得：===这也是Bloch定理的另一种表达式，利用(lìyòng)这种表达式Bloch定理可叙述为：周期势场中单电子Shodinger方程的本征函数可以这样来选取，使得与每个相联系的有一个波矢满足：=由Bloch定理可得两个重要结论(jiélùn)：〈1〉Bloch定理表明周期势场中电子的本征函数有Bloch函数的形式，是一个被周期势场调幅了的平面波，平面波的振幅具有周期势场的周期性，这与自由电子的波函数不同，自由电子的波函数是一个平面波。〈2〉Bloch波函数是周期势场中电子的本征函数，这个波在晶体空间是自由（均匀）传播的，既不随时间和空间而衰减，也不会在传播过程中突然改变(gǎibiàn)形态，即不会由一个Bloch波变成另一个Bloch波。Bloch定理的证明:首先从正空间(kōngjiān)证明。先定义平移算符，若点阵的平移矢量是，当取一系列整数值时，它代表平移矢量群，对此，我们可定义平移算符把平移算符作用在Shodinger方程中的上得；==有平移(pínꞬyí)不变性，在周期场中=则=平移算符与哈密顿算符是对易算符，据量子力学可知，对易算符有相同的本征函数，即的本征函数也就是的本征函数。若是同一(tóngyī)平移矢量群中的任意两个矢量，则：=这就是说同一(tóngyī)平移矢量群中的两个平移算符彼此是对易的。现在就一维情况来证明Bloch定理：考虑长为L的一维晶体，有N个初基晶胞(jīnꞬbāo)，L=Na，固体物理考虑的都是理想晶体，不考虑边界，为排除晶体的有限尺寸对问题的限制，采用周期性边界条件，即把晶体首尾相接成一个环型晶体。Shodinger方程(fāngchéng)的解以晶体长度为周期重复：是周期场中哈密顿算符的本征函数，也是平移算符的本征函数:c为算符的本征值。当用平移算符重复(chóngfù)作用时，将平移算符在波函数上作用N次，则：按周期性边界条件：这是由平移对称性得到的。于时则=令（周期性边界条件下k的允许值）这正是(zhènꞬshì)一维点阵中Bloch定理的表达式。对三维晶体(jīngtǐ)在x、y、z方向都用周期性边界条件和平移算符，同样可得：在以上的证明中，我们没有用到周期势的性质(xìngzhì)和波函数的具体形式，只用了平移对称性，Bloch定理是晶体平移对称性的直