第四章随机变量的数字特征一基本概念及内容离散型随机变量的数学期望：若绝对收敛，则若绝对收敛，则连续型随机变量的数学期望：若绝对收敛，则，若绝对收敛，则二维离散型随机变量的函数数学期望：二维连续型随机变量的函数数学期望：当方差：，离散型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：若个相互独立的随机变量～则～协方差：相关系数：常见随机变量的概率分布期望与方差名称概率分布期望方差0-1分布二项分布泊松分布几何分布均匀分布指数分布正态分布定理：当且仅当随机变量之间存在线性关系，即时，当，称不相关。独立一定不相关，但不相关不一定独立。二维正态随机变量的概率密度函数中的参数就是的相关系数。对二维正态随机变量来说，“不相关”与“”是等价的。切比雪夫不等：:设有：大数定理：设随机变量相互独立，……，则序列依概率收敛于即贝努利大数定理：次重复独立试验序列中事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率独立同分布的中心极限定理：设随机变量相互独立同分布，且，则即：当很大时特别的：若则有二基本题型例1填空(1)设随机变量～，～且相互独立，则对任意常数，有服从的分布是(2)设随机变量相互独立，其中服从正态分布服从参数为的指数分布，记则(3)已知随机变量～，～则(4）设随机变量独立，在[0.6]上服从均匀分布，服从，服从参数为的泊松分布，记，则(1989考研数学5)(5)设随机变量服从参数为的泊松分布，且，则有(6)设随机变量(7)设随机变量的期望(8)设随机变量的分布律为5题表02则(9)设相互独立，且服从同一分布，其数学期望为(10)设连续型随机变量的概率密度函数为的数学期望为1，的方差为注（1987考研数学1）例2设服从如下表的概率分布：X-1012概率求解：例3某保险公司规定，若在一年内顾客的投保事件发生，该公司就赔偿顾客元，若在一年内事件发生的概率为，为使该公司的期望收益值等于的10％，问该公司应该要求顾客交多少保险费？解：表公司收益：：表一个顾客所交保费，则例4设随机变量的概率密度分别为：求.（2）又设相互独立，求解：例5设的分布密度为解==例6设随机变量相互独立，其概率率密度分别为：求.解：例7设的联合概率密度为解：由例8验证是某个随机变量的概率密度，但具有这概率密度的随机变量的数学期望不存在。证明：（1）显然，且所以是一个分布密度,（2）而；所以的数学期望不存在。例9一工厂生产的某种设备的寿命(以年计)服从指数分布，概率密度为工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.(练习册5)售出设备一年内调换，表示调换费用。则：=（元）例10某车间生产的圆盘直径在期间上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。(理工大02级试题)解：直径～记圆盘面积,则例11．设的分布律如下表:123-10.20.10.00.300.10.00.30.410.10.10.10.30.40.20.41解（1）的边际分布见表上，故1×0.4+2×0.2+3×0.4；-1010.20.100.40.10.10.1=-1×0.3+1×0.3=0.（2）的可能取值为.易知的分布律如表为故=-1×0.2×0.1×0.1+×0.1+×0.1+1×0.1=，解法2：（3）=-1-2-301230.20.100.40.10.10.1的可能取值为-1，-2，-3，0，1，2，3.且有如表的概率分布：=-1×0.2+（-2）×0.1+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.2所以=5解法2=+例13已知二维随机变量的联合分布律为，其中未知（64学时无此题）012-10.10.10.210.30.2求，（2）求的边缘分布律，（3）判断的独立性，（4）求解：（1）（2）求得的边缘分布律见下表012-10.10.10.20.410.30.20.60.40.30.31（3），不独立（4）例14是相互独立同分布的随机变量，且求的数学期望。(1994考研数学1)解：记则：，，故例15设随机变量的概率密度为求：例16设系统由元件并联而成，分别表示的寿命（以h记）并设相互独立，且服从同一分布，其概率密度函数为求系统的寿命的数学期望。解:的分布函数为则的分布函数于是的密度函数为例17一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数的期望与方差。。解：例18设试验成功的概率为将试验