会计学5.3有限元法的工程应用(3)简化后的力学模型必须是静定结构或超静定结构。(4)进行力学模型简化时，还要给定结构力学参数如材料弹性模量E，泊松系数，外载荷大小及作用位置，以及结构的几何形状及尺寸等。2.单元划分和插值函数的确定根据位移插值函数，由弹性力学中给出的应变和位移关系，可计算出单元内任意点的应变；由物理关系，得应变与应力间的关系式，进而可求单元内任意点的应力；由虚功原理,可得单元的有限元方程，即节点力与节点位移之间的关系，从而得到单元的刚度矩阵。整体分析是对由各个单元组成的整体进行分析。整体分析的目的是建立节点外载荷与节点位移之间的关系，以求解节点位移。把各单元按节点组集成与原结构体相似的整体结构，得到整体结构的节点力与节点位移之间的关系。(1)整体节点位移列阵{q}{q}的建立，可直接按节点编号顺序和每个节点的自由度数排列而成。这相当于将各个单元的节点位移直接叠加，共同节点只取一个表示即可。(2)总刚度矩阵{K}由各个单元刚度矩阵直接叠加而成。这种叠加是按各单元节点编号的顺序，将每个单元刚度矩阵送入总刚度矩阵中对应节点编号的行、列位置，而且交于同一节点编号的不同单元，对应于该节点的刚度矩阵子块要互相叠加。总刚度矩阵中其余元素均为零。图5-7所示为一块三角形薄板离散后的三角形网格，该结构共有四个单元和六个节点，其编号情况以及节点载荷如图所示。支承情况是在节点4、5、6三处共有四个位移分量限定为零，即四个单元的节点局部码如图5-8所示。对比图5-7与图5-8可以看出，四个单元节点局部码与节点总码的对应关系为：假设在单元分析中，已得出单元1在整体坐标系中的单元刚度矩阵[K](1)，写成分块形式为综上所述，在弹性力学平面问题中，通过单元分析得到局部坐标系下的各个单元的刚度矩阵后，由它们组集成整体坐标系下的总体刚度矩阵，需经如下步骤：①将所得的局部坐标系下的各单元刚度矩阵节点局部码转换为对应的节点总码，从而得到整体坐标系的单元刚度矩阵；②将整体坐标系的单元刚度矩阵的各子矩阵根据其下标的两个总码对号入座，写在总体刚度矩阵相应的位置上；③将下标相同的子矩阵相加，形成总体刚度矩阵中相应的子矩阵。整体总节点载荷列阵{F}是由各单元节点载荷列阵叠加而成的。它是将各单元的送到{F}中对应节点编号的行上，而且交于同一节点的不同单元，对应于该节点的节点载荷子块要互相叠加。在进行整体分析时，有时一个节点往往是几个单元的共有节点，该节点的节点力应该是共有节点的单元在该节点上的力的叠加，由此可以得到整体结构的节点载荷列阵{F}。如图5-9所示，假设节点i是三个单元①、②、③的连接点，受相关单元上移置而来的外载荷Rix与Riy，如图5-9(a)所示。同时三个单元都受到节点i所施加的节点力Rix(1)、Riy(1)、Rix(2)、Riy(2)、Rix(3)、Riy(3)，如图5-9(b)所示。5.解有限元方程可采用不同的计算方法解有限元方程，得出各节点的位移。在解题之前，应根据求解问题的边界条件，可将式(5-33)进行缩减，这样更有利于方程的求解，然后再解出节点位移{q}。例5-1图5-10(a)所示为一个平面薄梁，载荷沿粱的上边均匀分布，单位长度上的均布载荷q=100N/cm。假定材料的弹性模量为E，泊松比μ=0，梁厚为t=0.1cm。在不计自重的情况下，试用有限元法计算该梁的位移和应力。解：1.力学模型的确定由于此结构的长度和宽度远大于梁厚，而载荷作用于梁的平面内，且沿厚度方向均匀分布，因此可按平面应力问题处理。因为此结构与外载荷相对其垂直方向的中线是对称的，所以取其一半作为分析对象如图5-10(b)，对称轴上的点约束横向位移为0。2.结构离散化由于该问题属于平面应力问题，本例题选用单元类型为三节点三角形单元。然后对该结构进行结构离散化，共划分两个单元，选取坐标系，并对单元和节点进行编号如图5-10(b)所示。对于单元②，见图5-10(d)，由节点坐标：i(0,0),j(6,0),m(6,6)。同理可得单元②应力矩阵：4.求各单元刚度距阵[K]同理，可得单元②的刚度距阵：5.建立整体有限元方程式根据刚度集成方法，按节点位移序号组建整体结构的总刚度距阵[K]：6.引入边界约束简化有限元方程组解上面方程组，可得各节点位移：单元②：5.4有限元软件简介●在一些CAD/CAM/CAE系统嵌套了有限元分析模块，它们与设计软件集成为一体，可在设计环境下运行。例如：设计软件I-DEAS、Pro/ENGINEER、UNIGRAPHICS等，其有限元分析模块虽没有通用或专用软件那么强大全面，但是完全可以解决一般工程设计问题。2.有限元分析的前、后