有限单元法图3-1简单的梁和桁架结构现考虑对图3-1中结构的分析。在位移分析法中我们是把该结构看成是两个梁单元、一个桁架单元和一个弹簧单元的分割体，第一步是计算对应于结构总体自由度的单元刚度矩阵。在这种情况下，对于梁单元、弹簧单元和桁架单元，我们分别有6?12?2?LL?EI?4K1e=L????sym?12?12?L2?L?EI?16eK2=?L???sym?eK3=Ks；U6?12L26L12L212L26L12L2?6?L??2??；U1,U2,U3,U46?L?4??12?L??8??；U3,U4,U5,U612?L?16????eK4=EA?2?2?；U5,U7L??22???1整个分割体的刚度矩阵可以由各个单元刚度矩阵通过直接刚度法有效地求得。在这个过程中，结构刚度矩阵K是通过各单元刚度矩阵直接相加而算得，即K=∑Kiei而系统的平衡方程为KU=R式中U是系统的总体位移向量，R是作用在结构总体位移方向上的外力向量：UT=[U1LU7]，RT=[R1R2LR7]在求解结构的位移之前，我们需要利用边界条件U1=0和U7=0。这意味着我们可以只考虑含有五个未知位移的五个方程，即KU=R，式中K是从K中删去第一和第七行以及第一和第七列后得到的，而UT=[U2U3U4U5U6]，RT=[0?P000]上面的讨论说明了有限元法的一些重要特点．基本的处理过程是先把整个结构看成为各个结构单元的分割体，计算对应于结构分割体总体自由度的各单元刚度矩阵，然后通过将各单元刚度矩阵叠加的方法形成结构刚度矩阵，求解单元分割体的平衡方程组就得到单元的位移，然后利用它们来计算单元的应力。虽然原来并不认为用位移法分析梁和衍架单元的分割体就是有限元分析，但以后我们将会看到，实际上我们可以把桁架和梁单元看作两种特殊的有限元。在这个定义上，上述的分析就是梁和衍架结构的有限元分析。而用另一种方法，我们可不通过求解平衡微分方程，而是用虚功原理计算其刚度系数。导出表示弹性体平衡的相应方程的一个等效方法是利用虚位移原理，这个原理表示物体处于平衡的要求是：对于强加在该物体上的任意相容的微小的虚位移，总的内虚功应等于总的外虚功，即∫εVTσ?dV=∫VUTfBdV+∫SUSTfSdS+∑UiTFiiB?fX???=?fYB?，f?fZB???Si?fX??FX?????=?fYS?，Fi=?FYi??fZS??FZi?????（3.1）式中fBS（3.2）是作用在弹性体上的体力fB、表面力fS和集中力Fi。从未受荷载时的位置开始的弹性体的位移以U表示，其中UT=[UVW]2（3.3）相应于U的应变为εT=[εXX相应的应力为εYYεZZγXYγYZγZX]（3.4）σT=[σXXσYYσZZτXYτYZτZX]（3.5）ε和U表示虚应变和虚位移。分析的基本步骤和上述桁架和梁结构的分析步骤一样。图3-2有限元平面分析该问题的求解可按下列的步骤进行：(1)假设每一单元节点i的两个未知位移为ui和vi，而u(X,Y)和v(X,Y)用简单多项式函数来表示，其中的末知参数是单元节点位移。对于图3-3中的单元，未知位移是u1,v1,L,u4,v4。(2)利用虚位移原理计算每个单元对应于节点自由度的刚度矩阵。(3)将各单元刚度矩阵叠加得到结构的刚度矩阵，利用边界条件解平衡方程组求出节点位移，然后算出单元的应力。图3-3局部坐标系统中典型的二维四节点有限元33.1利用虚位移原理建立有限元法的公式（一）平面应力分析的位移和应变－位移的变换矩阵平面应力分析的位移和应变－移和应变为了便于说明，再考虑一个平面内荷载作用下悬臂板分析的例子(图3-2)。该结构是处于平面应力的状态，因此可以将平桓理想化为二维平面应力有限元的分割体，如图3-2所示。所需要的基本矩阵是对于分割体的每个单元的位移变换矩阵和应变-位移变换矩阵。为了推导这些矩阵，我们着重研究如图3-3所示的典型单元，并假设局部单元位移u和v是以局部坐标变量x和y的多项式的形式给出：u(x,y)=α1+α2x+α3y+α4xyv(x,y)=β1+β2x+β3y+β4xy（3.6）（3.7）未知系数α1,L,β4也称为广义坐标，它们可以用未知的单元节点位移u1,Lu4和v1,Lv4来表示。定义~uT=[u1u2u3u4v1v2v3v4]（3.8）我们可以把式（3.6）和（3.7）写成矩阵形式u(x,y)=Φa（3.9）其中?φ0?Φ=???0φ?φ=[1xyxy]（3.10