《数学分析》课程电子课件教师：杨勤民Tel:64253147Email:qmyang@ecust.edu.cnhttp://e-learning.ecust.edu.cn/able.acc2.web/sxfx.jpkc公共邮箱：m.a.ecust@gmail.com华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.7)qmyang@ecust.edu.cn1/14§14.7泰勒(Taylor)公式一元函数f()x的Taylor公式:fx()fx(h)fx()f()xh0h20002!fx()n()fxh()n1()0hn0hn1n!()!n1()01推广多元函数Taylor公式华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.7)qmyang@ecust.edu.cn2/14二元函数的Taylor公式记号(设下面涉及的偏导数连续):•()(,)hkfxy00表示hf(,xy)kf(,xy)xyxy00002•()(,)hkfxy00表示xy22hfxx(,x00y)2hkfxy(,x00y)kfyy(,x00y)m•一般地,()(,)hkfxy表示xy00mmppmpfCmhkpmpp0xy(,x00y)华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.7)qmyang@ecust.edu.cn3/14定理设在点zf(,)xy(x00,y)的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,(,)xh00yk为此邻域内任一点,则有f(,)(,)xh00ykfx00y()(,)hkxyfx00y122!()(,)hkfxyxy001nnx!()(,)hkyfx00yRn①1n1其中Rn()!nxy1()(,)hkfxh00yk②()01称①为f在点(x0,y0)的n阶Taylor公式,称②为n阶Taylor公式的Lagrange型余项.华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.7)qmyang@ecust.edu.cn4/14证:令()tfxthytkt(00,)(01),则()01f(x00,yf),()(xh0,y0k)利用多元复合函数求导法则可得:()thfxy(xht00,ykt)kf(xht00,ykt)()0(hkxy)f(x00,y)2()thfxx(xht00,ykt)2hkfxy(,)xht00ykt2kfyy(,)xht00ykt2()0(hkxy)f(x00,y)华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.7)qmyang@ecust.edu.cn5/14一般地,mm()mppmpf()thkCmpmpp0xy(,)xht00ykt()mm()0(hkxy)f(x00,y)由()t的麦克劳林(Maclaurin)公式,得11()n()1()00()2!!()0n()01()n1()!n1()()01将前述导数公式代入即得二元函数的Taylor公式.华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.7)qmyang@ecust.edu.cn6/14说明:(1)余项估计式:因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界M,令hk22,则有MRhk()n1hcosn()!n1ksinMnn11(cossin)()!n1利用max(xx12)2[,]01M()2nn11o()n()!n11(皮亚诺n1(Peano)型余项)Rn()!nxy1()(,)hkfxh00yk华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.7)qmyang@ecust.edu.cn7/14(2)当n=0时,得二元函数的Lagrange中值公式:f(,)(,)xh00ykfx00yhf(,xhyk)kf(,xhyk)x00y00()01(3)若函数zf(,xy)在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上fxy(,)常数.(4)从证明可知:对于更多变量的函数,可得类似结果例如f(x,y,z),P0=(x0,