第22卷第6期高等函授学报(自然科学版)V0I．22No．62009年12月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)2009·大学教学·一些重要极限的统一证明冯育强，张青桥(武汉科技大学理学院，湖北武汉430065)＼摘要：本文利用一个与有关的不等式，给出了一些重要极限的统一证明．关键词：极限；证明中图分类号：0171文献标识码：A文章编号：1006—7353(2009)06-0018-02为了证明基本极限，在文献[1]中，引入了∈N注意到如下的不等式：c===⋯一弓f理1设0<Ⅱ<b，则(+1)a(6一日)<一口井<(n+1)(6一口)利用此不等式，我们在文献[2]中证明了如lira(~-)z—limlira⋯lim=1，_．∞n—+。。n—∞”-+∞下结论。im(1+1)”引理2lim(1+)圹}1一l一。。n一—∞一因一此一。。lira一1．K(1+)>P>(1+)，V∈N．HH以下我们利用引理2来证明高等数学中的一定理2设一l++⋯十一ln，∈些重要的极限。首先，我们有：N，则数列(n)收敛。定理1lira一1证明由于(1+)<<(1+)州，咒证明i~zy：(1+)<P，则有>1+ltrI则有又由(1+士)>P，(72≥2)，得<1+In(1+)<1<in(1十)，=_．因此l+<<l+—，(≥2)即一1n一l<ln(1+)<令一。。，可知lim一l因此有推论1lim／=1斗。。n“一n。=一‘ln(n+十1)+十In一推论2lira一1，Vn>01一ln(1+)<0证明给定n>0，必存在k，k。∈N，使得n一1+i+(<a<删()<<z，⋯十一1n>收稿日期：2009—09—28．基金项目：国家教研课题(FIB070335一A2—04)；湖北省教育厅自然科学基金项目编号：Q2OO91107；武汉科技大学优秀科技人才培育计划项目，项目编号：2008RC01．作者简介：冯育强(1975一)，男，陕西咸阳人，副教授，主要从事分析数学研究与教学．18第22卷第6期高等函授学报(自然科学版)Vo1．22NO．62009年12月JournalofHigherCorresp0ndenceEducation(NaturalSciences)2009F1一1十1一1+⋯+一ln(1+1)+ln(1+)+⋯+ln(1+)一1n一ln]一lim—。2nln(23—ln2-]一limES2一ln2-]，⋯)一1n"一ln(+1)一1n>0因此以上表明{a)递减且下有界，所以{a)limS2一ln2，收敛。又推论3lim(++．．．+)n⋯—o。十上十十卵limS2抖1—1im(S2+)一limS2一ln2”一。。一∞n十上n∞一ln2所以证明事实上，令limS一ln2，Ⅱ：==1+1+⋯+一1n，厶，l即nz一1+1+++⋯1⋯一ln2，薹(一1)一1—1一1十1⋯·+由于{a}收敛，所以0一lim(2一a)一一n—o0(++⋯+1定证—1n2+1n)一．收敛．理明(++．．．+_1n2)，～级即知则一数<l+)<一1c++．．．+nz．一∑缴<n(1+音)<1，因此(～1)11一—11-一⋯一十+<推论4妻o<n一ln(1+)<一<1n=l<，z十I一(一1)”一+⋯一1n2L(，z1收敛注意到级数妻，因此级数n=l证明事实上，令1H一n口一1+1++1⋯一ln，妻(去Ihc+)收敛。n=ln：一1+1+⋯+—}+⋯1一ln2，推论5级数妻n=l(n(1+)一l_)收敛。s一1一丢+⋯+(一1)一11”，参考文献则有[1]R．F．Johnsonbaugh，Anotherproofofanestimate0一lim(n2一a，)一foreEJ3，TheAmer．Math．Monthly，1974：1011—H—●。。1012．[1+1—1)+1十1一1)+⋯+10厶——上E2]冯育强，与数e有关的等式与不等式的推导EJ]，高等+(一1)+函授学报，2000，22(3)：1O一11．⋯++(一)一ln2+19