摘要本文主要采用微积分为主体思想，建立出主体模型，在模型改进中尝试采用蒙特卡罗的思想进行进一步探索。求解时，模型全部封装成程序实现，方便了应用与推广，而且误差验证表明两个模型都达到了很高的精度。对于问题一：1、对原数据分析，对无变位时的数据进行分析，研究对应高度的理论容积与实际装油的量之间的关系，其差值存在说明可能是罐体内装置及替他因素造成，最终用回归拟合的方法得出一个三次函数，通过作图发现发现吻合程度很高。2、采用微积分的思想计算倾斜后应高度的容积，得出容积与高度的函数。3、结合前两个步骤得出最终的变位后标注于高度的函数关系。采用MATLAB求解出新的标定表，摘部分结果：高度\cm255075100标注\L4、误差分析，用自己的模型函数算出题中给出数据的高度对应标注值，与实际油量进行对比，得出平均绝对值误差率为，模型达到了很高的精度，有力的证明了模型的正确性。对于问题二：1、用积分的方法算出对应油浮子标度下的理论容积。在求解的过程中，采用分块积分的细想，水平分上中下，竖直分左中右，然后结合结合具体的图形算出相关的关系，进行积分的出最后的函数：，然后将其此模型的求解与建立封装成MATLAB程序，方便下面的校正与求解。2、把上一步的体积模型函数两个变位参数，取0度，此时把得出对应高度的结果与题目中给的各高度对应容量进行对比，这里均匀选取23个代表点计算，差值基本恒定,其均值为，然后加到第一步的体积函数中作校正，得出最终的模型关系，然后修正模型对应的完整封装的MATLAB程序。得出的最终表达式进行误差分析：，可见本模型已经达到了极佳的精度。3、根据总容积恒定的参照，即为累计的出油加上此时刻的标注值应该等于一个定值，考虑到角度不会太大，所以这里采用计算机遍历搜索的思想，以这23个代表点算出的每个不同参数总容积的方差最小为目标进行搜索，编程序直接调用上面的模型对应封装好的MATLAB源程序，在0到15度之间以为步长遍历搜索出两个变位参数的值：，4、将求出的参数带入模型，及出每个10cm的新的标注表，部分结果摘录：高度/cm50100150200标注/L55、在模型改进中，我们又进一步尝试了蒙特卡罗算法，利用约束范围内的随机点占一个容易求解的规则图形随机点的个数之比，得出两者之间体积的对应关系，进而求出容积与高度及变位关系的函数。我们对比结果后发现误差比积分模型大一些，但此模型在形状等更复杂的场合还是更有适应力的。关键字：微积分回归拟合计算机搜索蒙特卡罗算法1问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为0的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。2模型假设假设温度的变化不会引起较大的容积变化；假设罐体壁使用一段时间不会发生较大形变；假设探针的刻度显示受外界影响因素不大；假设罐体内不会积累固体杂物；3符号说明符号符号意义变量类型油罐液面高度问题一中变量油罐液高为的储油容积油罐纵向倾斜角度油罐内一些附件所占的体积罐体长度问题二中变量罐体油浮子左边部分长度罐体油浮子右边部分长度标注高度柱体高度正面两端的球体部分弦高其他的函数等变量在模型求解中给予说明。4问题分析4.1问题一：首先，需要算出对应高度液面以下，罐体内设施部分所占的体积，最终将其拟合成一个关于高度的函数，为修正标注做准备。考虑到设施都是固定的柱体且横截