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§22.1二阶线性偏微分方程的分类§22.1二阶线性偏微分方程的分类在本课程的数学物理方程部分中,总共讨论了三种类型偏微分方程?波动方程?热传导方程?稳定问题,如Laplace方程,Poisson方程,Helmholtz方程等定解问题的解.这三类方程,描写了不同的物理过程,它们的解也都表现出各自不同的特点(例如,见13.6?13.8各节的讨论).在数学上,这三类方程也分属双曲型、抛物型和椭圆型三类(见12.4节).二阶线性偏微分方程,是否就只有这三种类型?回答是:对于两个自变量的情形,一定如此.下面以两个自变量的二阶线性偏微分方程为例,作一个典型讨论.对于更多个自变量的情形,问题要复杂一些,但讨论的基本方法是一样的.两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程的普遍形式是:a?2u?x2+2b?2u?x?y+c?2u?y2+d?u?x+e?u?y+fu+g=0,()其中a,b,c,d,e,f和g是x,y的已知函数.通常假设它们是连续可微的.显然,函数a,b,c中,至少有一个不恒为0,否则,就不成其为二阶偏微分方程.首先考虑a和(或)c不恒为0的情形.不妨设a≡0.这时可作变换ξ=φ(x,y),η=ψ(x,y).为了保证ξ和η仍然是独立变量,这一组变换必须满足?(ξ,η)?(x,y)=0.在这一组变换下,有?u?x=?ξ?x?u?ξ+?η?x?u?η=?φ?x?u?ξ+?ψ?x?u?η,?u?y=?φ?y?u?ξ+?ψ?y?u?η,?2u?x2=?φ?x2?2u?ξ2+2?φ?x?ψ?x?2u?ξ?η+?ψ?x2?2u?η2+?2φ?x2?u?ξ+?2ψ?x2?u?η,?2u?x?y=?φ?x?φ?y?2u?ξ2+?φ?x?ψ?y+?φ?y?ψ?x?2u?ξ?η+?ψ?x?ψ?y?2u?η2,+?2φ?x?y?u?ξ+?2ψ?x?y?u?η,?2u?y2=?φ?y2?2u?ξ2+2?φ?y?ψ?y?2u?ξ?η+?ψ?y2?2u?η2+?2φ?y2?u?ξ+?2ψ?y2?u?η.§22.1二阶线性偏微分方程的分类所以,方程()变为A?2u?ξ2+2B?2u?ξ?η+C?2u?η2+D?u?ξ+E?u?η+Fu+G=0,(#)其中,A=a?φ?x2+2b?φ?x?φ?y+c?φ?y2,B=a?φ?x?ψ?x+b?φ?x?ψ?y+?φ?y?ψ?x+c?φ?y?ψ?y,C=a?ψ?x2+2b?ψ?x?ψ?y+c?ψ?y2,D=a?2φ?x2+2b?2φ?x?y+c?2φ?y2+d?φ?x+e?φ?y,E=a?2ψ?x2+2b?2ψ?x?y+c?2ψ?y2+d?ψ?x+e?ψ?y,F=f,G=g.容易证明B2?AC=?φ?x?ψ?y??φ?y?ψ?x2b2?ac()=?(ξ,η)?(x,y)2b2?ac