··中学生数学年!月上第∀#∃期%高中&齐年钾终娜娜年丝攀高氛考湖北省十堰市东风高级中学%!∋&甘志已因,大学自主招生考试数学试题材料鲜活试题的结万还是人类历史上发现的第一个无理数,是=><地以()∃答题的形现%∗Α5,构常道解式出如年清华大?≅ΑΒ9−%约公元前(年希腊学者&学派的成员、、,学北京浙江的主生试题&也Α5Δ5,大学大学自招有与本省16ΧΧ所发现的从而产生了数学史上的第一次危试卷的形的%∗山主,高考数学式类似如年东大学自机所以学生还应当尽可能的通过课外阅读等手段扩,+招生试题&试题的一于题下面绍++难度般略高高考介大知识面上述证明是应用反证法的一个典型例子+几道∗年自主招生数学试题压∀%∗年浙江大学自主招生数学试∋%∗,、,‘、+,、题年北京大学自主招生学试+,Φ,数Ε一(、4,4,4,、,’一‘>‘一‘’‘>一’”一>。,、二、Γ,Ε.%“,书,、,止一、,−、、仙,止∋.题)+?/万上ΗΙ∋’&‘产题求’证边长卜、为0斌一1的砂正五边形对2角‘2线长3、为产研二岁,护,,+)))一一))Ι84一∋Ι.Ι>一∋%ΑΙΓ二ϑ求Α的取值范围原参考解答是用平面几何中的三角形相似证得原参考解答是/通过换元后可知,题意即,+,、+,,,‘的下面给出一种三角解法Ε,,、Φ,一,(Φ,若‘4>,8’‘.>;簇二Η‘’>’∋∋‘8.“∋二>8%解选择正五边形的两条共顶点的对角线及其一Η寸Ι⋯+边组成等腰三角形,再作其底边上的高,又设这个正五ΑΙ,求正数Α的取值范围+,5∋再通过画图%由对称性可以只考虑第一象限的图4,边形对角线长为得67859):579’:;6∋∗、+、Κ,,Φ+、—,。。,,,Κ++⋯Φ‘一,())))一二>9,9形&得护.簇的圆心即坐’原到.’;5757圆少于‘+标刁’点‘、、、直线一下面求68∗%实际上有很多资料把685<−”,)一护、!”))一一−)‘2))一护+/、‘二、。‘,‘。。代二、作为特殊角的三角函数值列出此值为黄金Φ‘二Λ丫,、+,书,Λ,一Α万Α的距离’一不’小闷于该圆的半’径得所’求一的取值范一一”甲,寸’2琴”,产‘2<一“礴’目午一))一))+割#∋∗的一半,的&/二二厂+、分数挺好记+制涯,围是‘Ι罕.Μ9、导一一Κ;”&,57Α5Ν9。95ΑΝ95∀口Ν95Α+由公式6;);67Α5Α∀Ο!一∀及下面给出一种所用知识更少的解法+579。(579Ν959。(∀Ν9596∀#二(!得;68585一!∋∗一∀85解题意即57。Ν95;57;9,;85一!∋∗一∀!∋一6∋一∀,,、,+,。、,,,Φ,Φ+一6Ο%∗&,(,‘,碑Κ:卜气>芝岌<二二》Ι∋一乙ΙΠ9,右一月一一乓57;57洲习曰Φ引!6∋∗.;685一∋Ο!二一Α,Α+(6785·Φ返卫求实数的取值范围!因为%Θ一∋&.%,一&、。Ι,一+、时,雌石备沙:一云一所以所求正五边形对角线长为盏梦,所以题设等价于】二题%∗年复旦大学自主招生数学试+&证明是一个无理数Α+题请涯恒成立证明假设是有理数则可设一‘Ρ,。是两涯涯,,Τ、子设Ι4一∋∋一?得?&题设即函数)?.厉二飞诬了奎,,,,、+个互质的正整数&得时)7所以耐是偶数进而得%?&&的最大值+/%Α,下面用两种方法求+崖,“,,也是偶数%因为当Ρ是奇数时Ρ是奇数&又可得法一可得%Τ一?&一(一!?,,“,,7,,7Ρ%Ο矛&是!的倍数矛是偶数也是偶数得Ρ(?一;Τ?.%一(&Ο,⋯+,+均是偶数这与Ρ,互质矛盾Σ说明万是无理数ΥΟ!一%一(&&,··/+++。//‘4,,Μ79Δ−7Α”ΝΞ7网址/455Μ≅67Ας9Δ−7Α87Ν?7+姆乌电子邮箱Ω≅‘Ας,‘··中学生数学年!月上第∀#∃期%高中&+一、;、再由函数的单调性,可得满足题意的正数Ρ存在,且备合+,,Ρ的值有无数多个其取值范围是%Ν5万书万&,,还可得当且仅当‘一即Σ一或一时一合号专且(%∗年南京大学自主招生数学试、、‘,·Α‘Α/离,所以;题&若正数[满足.[.Ο8求证、、+、音一备8,二8,∋、∋“十”十‘一声·考,,丁八了八下∋了法二可得(一!∋&。9、、Κ&因誓高中生在学习“不等式的证明”时,大多都证明过,/所以可设/一Ψ675%。、、晋&得这样的题