2.4由方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率一、隐函数的导数显函数与隐函数形如yf(x)的函数称为显函数例如ysinxylnxex都是显函数由方程F(xy)0所确的函数称为隐函数例如方程xy310确定的隐函数为y31x把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化一、隐函数的导数隐函数的求导法把方程两边分别对x求导数然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出例1求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数解方程中每一项对x求导得(ey)(xy)(e)(0)即eyyyxy0y从而y(xey0)xey提示:(ey)eyy(xy)yxy例2求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0解法一把方程两边分别对x求导数得5y4y2y121x60121x6由此得y5y42因为当x0时从原方程得y0所以121x61y||x05y42x02例2求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0解法二把方程两边分别对x求导数得5y4y2y121x60根据原方程当x0时y0将其代入上述方程得2y10从而y|x005x2y23例例33求椭圆1在(2,3)处的切线方程1692解把椭圆方程的两边分别对x求导得x2yy0899x从而y16y3当x2时y3代入上式得所求切线的斜率23ky|x24所求的切线方程为33y3(x2)即3x4y830241例例44．求由方程xysiny0所确定的隐函数y2的二阶导数解方程两边对x求导得dy1dy1cosy0dx2dxdy2于是dx2cosy上式两边再对x求导得dyd2y2siny4sinydxdx2(2cosy)2(2cosy)3对数求导法此方法是先在yf(x)的两边取对数然后用隐函数求导法求出y的导数设yf(x)两边取对数得lnylnf(x)两边对x求导得1y[lnf(x)]yyf(x)[lnf(x)]对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数例5求yxsinx(x>0)的导数解法一两边取对数得lnysinxlnx上式两边对x求导得11ycosxlnxsinxyx1sinx于是yy(cosxlnxsinx)xsinx(cosxlnx)xx解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求yxsinxesinx·lnxsinxyesinxlnx(sinxlnx)xsinx(cosxlnx)x(x1)(x2)例例66求函数y的导数(x3)(x4)解先在两边取对数得1lny[ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)]2上式两边对x求导得111111y()y2x1x2x3x4y1111于是y()2x1x2x3x4说明严格来说本题应分x4x12x3三种情况讨论但结果都是一样的二、由参数方程所确定的函数的导数x(t)设y与x的函数关系是由参数方程确定的y(t)设x(t)具有反函数t(x)且t(x)与y(t)构成复合函数y[(x)]若x(t)和y(t)都可导则dydydtdy1(t)dxdtdxdtdx(t)dtdydy(t)dy即或dtdx(t)dxdxdtdy(t)若x(t)和y(t)都可导则dx(t)xacost例例77求椭圆在相应于t点处的切线方程ybsint4dy(bsint)bcostb解解cottdx(acost)asintadyb所求切线的斜率为tdx4a22切点的坐标为xacosaybsinb0420422b2切