【步步高】（浙江专用）2017年高考数学专题七立体几何第55练空间角与空间距离的求解练习训练目标(1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题.训练题型(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离.解题策略利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.一、选择题1.(2015·上海闵行区三模)如图，在底面是边长为a的正方形的四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA＝a，则直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)2．(2015·邯郸上学期教学质量检测)在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为()A．90°B．60°C．45°D．30°3.如图所示，在三棱锥S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，则点A到平面SBC的距离为()A.eq\f(3a,2)B.eq\f(a,2)C.eq\f(5a,2)D.eq\f(7a,2)二、填空题4．(2015·丽水二模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为平面ABB1A1的中心，则MC1与平面BB1C1C所成角的正切值为________．5．如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝eq\f(\r(3),2)，则二面角S－BC－A的大小为________．6.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：①异面直线C1P与CB1所成的角为定值；②二面角P－BC1－D的大小为定值；③三棱锥D－BPC1的体积为定值；④异面直线A1P与BC1间的距离为定值．其中真命题的个数为________．三、解答题7．(2015·浙江名校交流卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点O在AB上，且OB＝OC＝eq\f(2,3)AB，PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝eq\f(1,2)PO.(1)求证：PB∥平面COD；(2)求二面角O－CD－A的余弦值．8．(2015·宁波二模)如图，正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．(1)求证：EP⊥AC；(2)当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．9．(2015·安徽江南十校上学期期末大联考)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PB与底面ABCD所成的角为45°，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为α，PC与α的交点为Q.(1)试确定Q的位置并证明；(2)求四棱锥P－ABCD被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若PA＝2，截面AEQD的面积为3，求平面α与平面PCD所成的锐二面角的正切值．答案解析1．D[设B到平面PCD的距离为h，直线PB与平面PCD所成的角为α，则由等体积法可得eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a·a·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a·a·a，∴h＝eq\f(\r(2),2)a.又∵PB＝eq\r(2)a，∴sinα＝eq\f(1,2)，又∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴cosα＝eq\f(\r(3),2).故选D.]2．C[如图，连接AC，BD交于点O，连接OE，OP.因为E为PC中点，所以OE∥PA，所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥P－ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在平面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与平面ABCD所成的角，即∠PAO＝60°.因为PA＝2，所以OA＝OB＝1，OE＝1.所以在直角三角形EOB中，∠OEB＝45°，即异面直线PA与BE所成的角为45°.故选C.]3．A[作AD⊥CB交CB的延长线于点D，连接SD，如图所示．∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA⊂平面SAD，AD⊂平面SAD，∴BC⊥平面SAD，又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面ASD，且平面SBC∩平面ASD＝SD.在平面ASD内，过点A作AH⊥SD于点H，则A