湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得，再分析求解即可.【详解】根据题意得：，所以复数在复平面内对应的点的坐标为：.故选：C.2.若随机事件A，B满足，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先由题意计算出，再根据条件概率求出即可.【详解】由题意知：，可得，故.故选：D.3.设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为是公比不为1的无穷等比数列，若为递减数列，当，则，所以，令，则，所以，所以时，当，则，所以恒成立，当，则，所以，当时，当，则，此时恒成立，对任意均有，故充分性成立；若存在正整数，当时，，当且，则恒成立，所以对任意均有，但是为递增数列，故必要性不成立，故“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分不必要条件；故选：A4.设，，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定等式，利用同角公式及和角的正弦公式化简变形，再利用正弦函数性质推理即得.【详解】由，得，于是，即，由，，得，则或，即或（不符合题意，舍去），所以.故选：D5.若，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用二项式定理，求指定项的系数，各项系数和，奇次项系数和与偶数项系数和.【详解】由，对于A中，令，可得，所以A错误；对于B中，，由二项展开式的通项得，所以B错误；对于C中，与的系数之和相等，令即，所以C正确；对于D中，令，则，令，则，解得，，可得，所以D错误.故选：C.6.函数在区间上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】【分析】根据在的零点，转化为的图象和函数的图象在交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线对称，且在上有8个交点，即可求出.【详解】因为，令，则，则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的横坐标，可得和的函数图象都关于直线对称，则交点也关于直线对称，画出两个函数的图象，如图所示.观察图象可知，函数的图象和函数的图象在上有8个交点，即有8个零点，且关于直线对称，故所有零点的和为.故选：D7.点M是椭圆上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依据题目条件可知圆的半径为，画出图形由是钝角三角形可得，即可求得椭圆离心率的取值范围.【详解】依题意，不妨设为右焦点，则，由圆Ｍ与x轴相切于焦点F，M在椭圆上，易得或，则圆的半径为.过M作轴垂足为N，则，，如下图所示：，均为半径，则为等腰三角形，∴，∵为钝角，∴，即，所以得，即，得，得，故有，从而解得.故选：B8.已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作出的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得范围.【详解】作出的函数图象如图所示：表示点与点所在直线的斜率，可得曲线上只有一个点（x为整数）和点所在直线的斜率小于0，而点在动直线上运动，由，，，可得当时，只有点满足；当时，只有点满足.又a为整数，可得a的取值集合为.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（）A.的方程为B.的离心率为C.曲线经过的一个焦点D.直线与有两个公共点【答案】AC【解析】【分析】由双曲线的渐近线为，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断；再求出双曲线的焦点坐标判断，；联立方程组判断．【详解】解：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，把点代入，得，即．双曲线的方程为，故正确；由，，得，双曲线的离心率为，故错误；取，得，，曲线过定点，故正确；联立，化简得，所以直线与只有一个公共点，故不正确．故选：．10.已知向量，满足，且，则（）A