陕西省榆林市定边县安边中学数学组王广青718605浅谈等差数列的判定方法陕西省定边县安边中学数学组王广青鉴于学生对判定等差数列存在的盲点，本文主要介绍几种常见的判定等差数列的方法，分别是：定义法，中项公式法，通项公式法和前n项和公式法。通过这些方法的介绍和例题的讲解，使学生深刻理解等差数列的定义，灵活运用各种方法，为解决有关数列的综合问题奠定基础．（一）定义法如果一个数列满足p（p为常数，），则这个数列叫做等差数列．据此定义，要证明数列是等差数列，只需证明常数，这种方法叫做定义法．例1已知数列是等差数列，而数列的通项公式为,求证数列也是等差数列。证明设数列的首项为，公差为d，前n项和为，则有，因此数列是首项为，公差为的等差数列.例2已知数列是等差数列，，证明数列是等差数列。证明：因为数列是等差数列，设等差数列的公差为d（d为常数）即，所以所以数列{bn}是等差数列（二）通项公式法如果数列满足（），则数列是等差数列。即是等差数列，也就是说是关于n的一次函数，则一定是等差数列，这里n就是等差数列的公差。反之等差数列都可以写成关于n的一次函数，因此通项公式也是判定等差数列的好方法．例2已知数列满足，求证数列是等差数列。分析：这道题就可以根据定义法进行证明，是不是等于一个常数，如果是，则这个常数就是等差数列的公差。证明由题意知，等差数列满足，则根据定义法（常数），所以就是以6为公差的等差数列，反之证明也成立。（三）中项公式法三数a，C，b成等差数列，即2C＝a＋b，C叫a，b等差中项．反之，若2C＝a＋b，则a，C，b成差数列．因此，我们常用这一结论来判定是否是等差数列．有些数列题需要根据上面的方法证明所给数列是等差数列后，再进行求解．至于证明时选用哪个方法，因题而异．例3已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．证因为a、b、c成等差数列所以2b=a＋c即(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．说明如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．本例的意图即在让学生体会这一点．（四）前n项和公式法如果一个数列的前n项和（A,B是常数）是等差数列。也就是说一个数列的前n项和是关于n（常数项为0）的一元二次函数，则数列是等差数列，反之，等差数列前n项和一定可以写成是n的一元二次函数形式。强调：中常数项为0是其重要特征。为巩固这一点，请看下面例题例4设数列的前n项和（a,b,c为常数且），是判断数列是不是等差数列。解：当时，，（1）当时，（2）这时（3）即时，是公差为的等差数列。为使数列为等差数列，必须在n=1时（3）式也成立，既要c=0综上所述，当c=0时，是等差数列；当时，不是等差数列，但从第二项开始即时，是等差数列。例5数列的前n项和，试判断是什么数列。解：数列的通项公式为又，所以数列是首项为，公差d=-2的等差数列