第七章电磁波的散射、吸收和色散椭圆偏振光的电矢量为,证明自由电子的微分散射截面为.【证】将题给椭圆偏振光写成复数形式:.相应运动自由电子的偶极矩的二阶时间导数为,其辐射功率角分布为.由及求得自由电子的微分散射截面为,证毕.单个无极分子在外电场作用下会出现极化,其偶极矩正比于外电场,比例系数设为,为真空介电常数,被称为分子极化率(有量纲常数).设入射电磁波为频率的平面线偏振波,电矢量幅度为,按经典理论计算单个分子发出的散射波的电磁场及散射截面.【解】分子的偶极矩为,则由偶极子辐射场和辐射功率公式求得单个分子发出的散射波电磁场和散射功率为,,,由后者求得散射截面.完全电离气体属于等离子体,其正负电荷密度接近相等.对高频电磁波而言,只需考虑电子的运动.假定电子的数密度为,只考虑电磁波对电子的作用力,求等离子体的等效折射率.【解】由电子运动方程,求得电子的偶极矩.设等离子体的电子数密度为,则极化强度为,从而求得等离子体的等效折射率如下:.处于外磁场中的等离子体呈现出各向异性,其等效介电常数为张量.设外磁场均匀,仅考虑电子的运动,确定等离子体的等效介电常数张量.【解】写下电子的运动方程如下:.求时谐运动解,上述方程化为将代入,求得和之间的关系:由上述方程解得,,.由介电常数张量的定义,求得等离子体介电常数张量的表达式如下:.第八章狭义相对论一节长为20m的列车车厢,以相对地面高速运行,车厢内一观测者看到运行前方一端的A乘客和位于后方一端的乘客B彼此朝对方开枪射击,A开枪在先,领先时间为10-8秒.在地面观测者看来,是谁先开枪?领先多长时间?【解】在列车坐标系中,A开枪事件的空时坐标设为(),B开枪事件的空时坐标设为(),成立.由洛伦兹变换,求得地面坐标系中两事件的时间间隔为.因此,地面观测者认为B先开枪,领先时间为3.7510-8s.静止长度为的车厢,以速度相对地面运行.一小球以速度相对车厢运动.在地面观测者看来,小球自车厢后端到车厢前端经历的时间是多少?【解】在车厢坐标系中,小球位于起点事件的空时坐标设为(),小球位于终点事件的空时坐标设为(),成立.由洛伦兹变换,求得地面坐标系中两事件的时间间隔为.两条静止长度同为的尺子相互平行,各自相对地面以相同速率沿尺子方向运动,运动方向彼此相反.如果某观测者相对其中一条尺子静止,他测得的另一条尺子的长度等于多少?(提示:先求出两条尺子之间的相对速度.)【解】先计算两条尺子之间的相对速度.取轴沿尺子方向,相对地面参考系来说,A尺的速度为,B尺的速度为.设相对B尺静止的参考系为,地面参考系为,则相对的运动速度为.在中,A尺的速度为.由速度合成公式,求得A尺在中的速度为,这实际上就是A尺相对B尺的运动速度.由动尺缩短的现成结论,可知观测者测得A尺的长度为,生于2080年的一对双生子,其中一位一直留在地球,另一位于2100年离开乘坐火箭离开地球做宇宙旅行.乘客在火箭内感受到的加速度自始至终为ms,和在地球上的感觉相同.头5年内（用火箭内的静钟计时,下同）火箭做加速运动,第二个5年做减速运动;然后反转方向,先做5年加速运动,后做5年减速运动,最终返回地球与他的同胞兄弟会面.此时,乘坐火箭的那位的年龄为40岁.试问:(1)留在地球的那位是多大年龄？(2)火箭飞离地球的最远距离是多少(用光年作长度单位)？(提示:由加速度变换公式确定火箭在地面参考系中的加速度.)【解】(1)取地面参考系为惯性系,轴沿火箭运动方向;火箭参考系为,后者为瞬时惯性系.在中记录的时间间隔为固有时间间隔,相应中记录的时间间隔为,式中为(火箭)相对(地面)的瞬时速度.下面分析和的函数关系.乘客在系中的加速度为,在中的加速度为.在中,永远有,于是上式简化为.由得.将上式积分求得火箭时钟记录的时间与火箭速度之间的关系.在作加速运动的头5年()中,地面时钟记录的时间为,将和5年代入,求得91.2年.对以后的3个5年,火箭经减速、反向加速和减速,地面时钟记录的时间相同,总时间为的4倍,即364.8年.因此,地面的那位双生子的年龄将为384.8岁.(2)火箭在头5年飞离地球的距离由下式计算:.将和5年代入,求得光年.以光年为单位的距离与时间数值近似相同,是因为对大自变数,有.火箭飞离地球的最远距离为,即182.4光年.从相对论速度变换公式和多普勒频移公式出发,证明:在实验室参考系中,光在运动流体(运动参考系)中的光速为(流速,保留至级),式中为频率,为流体折射率,号对应光传播方向与流体运动方向平行和反平行.(提示:光相对运动流体的传播速度为,表示运动参考系中的光波频率.)【解