【To：冯祖鸣<zfeng@exeter.edu>ThreeProblemsSat,13May200623:23:39+0800(CST)】Hi，Zuming今天做了三个挺有意思的小题，是一位网友传来的。附上供一阅。06-05-13附件：闵飞．doc（197KB）；06051302．gsp（52KB）【From：闵飞<minfei2003@vip.sina.com>几道三点共线与特殊角的命题Tue,9May200614:36:14+0800(CST)】叶老师:您好!近日,用几何画板画了几道三点共线与特殊角互为充要条件的命题,只给出第一道的证明,余下两题没想出好的办法,在此发出在附件中,请叶老师看一看.闵飞2006,5,9.附件：三点共线与特殊角等价．doc（114KB）题目1：过A作ABC的外接圆的切线，交BC的延长线于P点，APB的平分线依次交AB、AC于D、E，BE、CD交于Q，求证：BAC=的充要条件是O、P、Q共线。题目2：在ABC中，A的平分线交BC于D，ABC、ABD、ACD的外接圆圆心分别为O1、O2、O3，且O是O1O2O3的外心，求证：BAC=的充要条件是B、O、C共线。题目3：在ABC中,AB、BC、AC均不相等，BC的中点为D，在直线AC、AB上分别取点E、F，使BF=CE=BC，记ABC的角A内的旁心为I，AEF的外心为O，求证：BAC=的充要条件是O、D、I共线这里给出题目1的证明：首先证明AQOP过P作⊙O的另一条切线，切点为T，设AT与BC交于F，由角平分线性质知：，又==从而∴由Ceva定理知AF、BE、CD三线共点于Q结合ATOP有AQOP必要性：设BAC=，在△ADE中，ADE=ABP+BPD=PAC+APD=AED∴△ADE是等边三角形又∴，且BDE=DEC=∴△BDE～△DEC∴DBE=EDC∴EDC+BED=DBE+BED=ADE=∴BQC=DQE=又BOC=2BAC=∴O、B、C、Q四点共圆，A、D、Q、E四点共圆∴OQD=OBC=，DQA=DEA=∴OQAQ结合前已证AQOP有O、P、Q共线。充分性：设O、P、Q共线，则OAP=OQA=∴PA2=PQ·PO，又PA2=PC·PB∴PQ·PO=PC·PB∴O、B、C、Q四点共圆从而，且有∴∴QE平分AQC，即AQE=CQE①另一方面由O、B、C、Q四点共圆知OQD=OBC=OCB=OQB=PQE结合OQA=PQA=知DQA=AQE②由①、②知DQA=AQE=CQE=从而BQC=BOC=2BAC=即有BAC=【To：闵飞<minfei2003@sina.com>回复】闵飞老师：你好！三个题已收到，非常有趣。我都已给出了解答。题目1我是直接用计算的办法，与你原有的方法稍许不同。虽有些烦琐，但揭示出了内在关系：【证明】如图，连接AQ，延长后交BC于D，交外接圆于T。由△PAB∽△PCA及角平分线定理，知。在△ABC中，由Ceva定理，，∴。由此知AD是类似中线，故。…………………………①在△ADC中，由Menelaus定理，，即，∴。得。…………………………②又取中线AM，由△ABM∽△ATC，∴，得。………③O、Q、P共线Q是AT中点即。将①、②、③代入得，而，得。由余弦定理，，∴。证毕题目2我给出了如下简证：【证明】分别记△ABC、△ABD、△ACD的外心为O、O1、O2，△OO1O2的外心为O′。作出△ABC的外接圆，并取中点N。不难证明A、N、O、O1、O2五点共圆。显然NO⊥BC。为使B、O′、C共线，即N、O关于BC轴对称，必须且只需满足∠BOC＝∠BNC，而∠BOC＝360°－2∠A（注：O与顶点A位于BC边异侧），∠BNC＝∠A，∴3∠A＝360°，即∠A＝120°。证毕题目3的图形以往我曾经讨论过，我正是借用以前所得到的某些结论来证明的：【证明】作△ABC的外接圆并取上、下的中点N、M。记△ABC的内、外心为I、O。记△AEF的外心为O′。可以证明OIO′N是平行四边形。为使O′、D、I1共线，在△I1OI中利用中位线知，必须也只需满足。而，（外接圆半径），代入得，而由正弦定理，∴，即，，。∴。证毕这三个题中我认为题目2最有挖掘余地，例如可探究一般情况下（即AD是任意Ceva线）何时O′落在BC上。在几何画板中，可由△ABC逆向构造出满足上述条件的AD，它是唯一确定的。画板表明当∠A的大小不变时，直线AD的包络是二次曲线，以外接圆垂直于BC的那条直径为其长轴。当∠A＝90°，包络恰好重合于外接圆；这时AD成为外接圆的切线。