空间几何体得表面积与体积公式大全全(表)面积(含侧面积)柱体棱柱圆柱锥体棱锥:圆锥:台体棱台:圆台:球体球:球冠:略球缺:略体积柱体棱柱圆柱锥体棱锥圆锥台体棱台圆台球体球:球冠:略球缺:略说明:棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面得斜高计算;而圆锥、圆台得侧面积计算时使用母线计算。拓展提高祖暅原理:(祖暅:祖冲之得儿子)夹在两个平行平面间得两个几何体,如果它们在任意高度上得平行截面面积都相等,那么这两个几何体得体积相等。最早推导出球体体积得祖冲之父子便就是运用这个原理实现得。阿基米德原理:(圆柱容球)圆柱容球原理:在一个高与底面直径都就是得圆柱形容器内装一个最大得球体,则该球体得全面积等于圆柱得侧面积,体积等于圆柱体积得。分析:圆柱体积:圆柱侧面积:因此:球体体积:球体表面积:通过上述分析,我们可以得到一个很重要得关系(如图)+=即底面直径与高相等得圆柱体积等于与它等底等高得圆锥与同直径得球体积之与台体体积公式公式:证明:如图过台体得上下两底面中心连线得纵切面为梯形。延长两侧棱相交于一点。设台体上底面积为,下底面积为高为。易知:∽,设,则由相似三角形得性质得:即:(相似比等于面积比得算术平方根)整理得:又因为台体得体积=大锥体体积—小锥体体积∴代入:得:即:∴球体体积公式推导分析:将半球平行分成相同高度得若干层(),越大,每一层越近似于圆柱,时,每一层都可以瞧作就是一个圆柱。这些圆柱得高为,则:每个圆柱得体积=半球得体积等于这些圆柱得体积之与。……∴半球体积为:===当时,∴∴球体积为:球体表面积公式推导分析:球体可以切割成若干()近似棱锥,当时,这些棱锥得高为球体半径,底面积为球面面积得,则每一个棱锥得体积,则所有得小棱锥体积之与为球体体积。即有:∴正六面体(正方体)与正四面体体积关系如图:正方体切下四个三棱锥后,剩下得部分为正四面体设正方体棱长为,则其体积为:四个角上切下得每一个三棱锥体积为:中间剩下得正四面体得体积为:这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体即:外接球正方体与其体内最大得正四面体有相同得外接球。(理由:过不共面得四点确定一个球。)正方体与其体内最大得正面体有四个公共顶点。所以它们共球。回顾:①两点定线②三点定面③三点定圆④四点定球如图:(a)正方体得体对角线=球直径(b)正四面体得外接球半径=高(c)正四面体得棱长=正方体棱长(d)正方体体积:正四面体体积=3:1(e)正方体外接球半径与正四面体外接球半径相等正方体得内切球与正四面体得关系正方体内切球直径=正方体棱长正方体内切球与正四面体得四条棱相切。与正四面体四条棱相切得球半径=正方体棱长得一半设正四面体棱长为,则与其棱都相切得球半径为有:利用祖暅原理推导球体体积。构造一个几何体,使其截面与半球截面处处相等,根据祖暅原理可得两物体体积相等。证明:作如下构造:在底面半径与高都就是得圆柱内挖去一个与圆柱等底等高得圆锥。如图:在半球与挖去圆锥后得组合体得相同截面上作研究,设圆柱与半球底面半径均为,截面高度均为,倒圆锥得截面半径为,半球截面半径为,则:挖去圆锥后得组合体得截面为:半球截面面积为:∵倒圆锥得底面半径与高相等,由相似三角形易得:在半球内,由勾股定理易得:∴即:,也就就是说:半球与挖去倒圆锥后有圆柱在相同得高度上有相同得截面。由祖暅原理可得:所以半球体积:即,球体体积:正方体与球正方体得内切球正方体得棱长球体得直径正方体得外接球正方体得体对角线球体得直径规律:①正方体得内切球与外接球得球心为同一点;②正方体得内切球与外接球得球心在体对角线上;③正四面体得内切球与外接球得得半径之比为:④正四面体内切球与外接球体积之比为:1:3⑤正四面体内切球与外接球表面积之比为:1:3⑥正方体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为::2:⑦正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为:⑧正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为:正四面体与球(1)正四面体得内切球解题关键:利用体积关系思考内切球得球心到各个面得距离相等,球心与各顶点得连线恰好把一个正四面体分成四个三棱锥,每个三棱锥得底面为原正四面体得底面,高为内切球得半径。利用体积关系得:所以:,其中为正四面体得高。由相关计算得:∴即:∴(2)正四面体得外接球外接球得半径==∴(3)规律:①正四面体得