2021年中考数学总复习巅峰冲刺专题20面积的最值问题【难点突破】着眼思路，方法点拨,疑难突破；面积最值问题的分析思路：1.定方向：规则图形面积直接利用面积公式；不规则图形面积分解为规则图形再表示2．定目标：确定待求条件3．定解法：解决待求条件，题目中有角度或者三角函数值。（解直角三角形），题目中只有长度。（相似）4．定最值：根据函数解析式和范围求最值。【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.图1图2图3【解析】：（1）△EPF为等边三角形.（2）设BP=x，则CP＝6－x.由题意可△BEP的面积为.△CFP的面积为.△ABC的面积为.设四边形AEPF的面积为y.∴=.自变量x的取值范围为3＜x＜6.（3）可证△EBP∽△PCF.∴.设BP=x，则.解得.∴PE的长为4或.【原创2】如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为．（1）请你用含的代数式表示．（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？分析：（1）定方向：先画出分类图,得到三角形和梯形两种情况，都是规则图形面积问题；（2）定目标：三角形缺表示高A’D，梯形缺上底EF和梯形的高DG；（3）定解法：本题没有明显的角度或三角函数值，所以本题是利用相似比表示A’D，EF，DG的长。（4）定最值：分解求最值，在比较大小确定最终结果。【解析】：（1）（2）的边上的高为，当点落在四边形内或边上时，=（0）当落在四边形外时，如下图，法1：高=h=；DG=AG-AD=6-,则;=所以综上所述：当时，，取，当时，，取，当时，最大，法2：设的边上的高为，则所以综上所述：当时，，取，当时，，取，当时，最大，【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m2)．(1)如图①，问饲养室的长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图②，现要求在图中所示位置留一个2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的长比(1)中饲养室的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．解：(1)∵y＝x·eq\f(50－x,2)＝－eq\f(1,2)(x－25)2＋eq\f(625,2)，∴当x＝25时，y最大，即当饲养室的长为25m时，占地面积y最大．(2)∵y＝x·eq\f(50－（x－2）,2)＝－eq\f(1,2)(x－26)2＋338，∴当x＝26时，y最大，即当饲养室的长为26m时，占地面积y最大．∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．【例题2】如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连结BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH.(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．(3)设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S关于x的函数表达式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)由折的叠性质，得PE＝BE，∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EBP＝∠EPB，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，即∠PBC＝∠BPH.又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC.∴∠APB＝∠BPH.(2)△PHD的周长不变，为定值8.证明如下：如解图①，过点B作BQ⊥PH，垂足为Q.由(1)知∠APB＝∠BPH，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP.∴AP＝QP，AB＝BQ.又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴△BCH≌△BQH.∴CH＝QH.∴△PDH的周长＝PD＋PH＋DH＝PD＋PQ＋QH＋DH＝PD＋HC＋A