大学物理简明教程习题解答习题一drdrdvdv1-1｜?r｜与?r有无不同?dt和dt有无不同?dt和dt有无不同?其不同在哪里?试举例说明．解：（1）dr?r?r?r2?r1?r?r2?r1是位移的模，?r是位矢的模的增量，即，；dr??dsdt是速度的模，即dt?v?dt.（2）drdt只是速度在径向上的分量.dr??∵有r?rr（式中r叫做单位矢），则dt?drdt?r?r?drdtdr式中dt就是速度径向上的分量，dr与drdt不同如题1-1图所示.∴dt题1-1图?dv?dva?dt，dt是加速度a在切向上的分量.dt表示加速度的模，即(3)??∵有v?v?(?表轨道节线方向单位矢），所以??dvdv?d????vdtdtdtdvdv式中dt就是加速度的切向分量.???dr与?d??dt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)(dt1-2设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求drx2dr22出r＝，然后根据v=dt，及a＝dt而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即??dx??dy???????dt??dt?22?y2v=及a=?dx??dt2?2??dy?????dt2??22????2你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r?xi?yj，????drdx?dy???v??i?jdtdtdt2?22drdx?dy??a??i?j222dtdtdt故它们的模即为v?vx?vy?22?dx??dy???????dt??dt??d2x?2??dt222a?ax?ay?22??d2y???2????dtdrdt22????2而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作v?dr与drdt22drdta?dr其二，可能是将dt误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明dt不是速度的模，dr22而只是速度在径向上的分量，同样，dt也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中22?dr?d???a径??r????2?dt?dt?????。的一部分或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即??r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢度的贡献。1-3一质点在xOy平面上运动，运动方程为1x=3t+5,y=2t2+3t-4.式中t以s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1s时刻和t＝2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4s时质点的速度；(5)计算t＝0s到t＝4s内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．?解：（1）??12?r?(3t?5)i?(t?3t?4)j2m(2)将t?1,t?2代入上式即有(3)∵∴(4)???r1?8i?0.5jm???r2?11j?4jm??????r?r2?r1?3j?4.5jm??????r0?5j?4j,r4?17i?16j???????r4?r0?r12i?20j??1v????3i?5jm?s?t4?04???dr??1v??3i?(t?3)jm?sdt???v4?3i?7jm?s?1则??????v0?3i?3j,v4?3i?7j(5)∵????v4?v0?v4??2a????1jm?s?t44??dv??2a??1jm?sdt(6)y方向的加速度，且为恒量。这说明该点只有1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以v0(m·s?1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．图1-4解：设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知l2?h2?s2将上式对时间t求导，得2ldldt?2sdsdt题1-4图dldtdsdt根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，∴即或将v船v绳???v0,v船??v船??dsdt??ldlsdt?ls2v0?