球坐标柱坐标一、矢量与矢量场二、矢量代数4、矢量代数公式1、直角坐标系（x,y,z）方向单位矢量：方向单位矢量：圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系一、标量场的梯度1）在直角坐标系中：1、矢量线（力线）矢量场的通量在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：1)矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；1)在直角坐标系下：已知矢量，求穿过一个球心在原点，半径为a的球面的通量和散度。已知1、矢量的环流在场矢量空间中，围绕空间某点M取一面元S，其边界曲线为C，面元法线方向为，当面元面积无限缩小时，可定义在点M处沿方向的环量面密度旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用表示，即：1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；1)在直角坐标系下：1.3矢量微分算子旋度2、圆柱坐标系3、在球坐标系【例题1.3.1】【例题1.3.2】证明：二、含有算子算式证明：【例题1.3.4】证明一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。四、包含算子的恒等式（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）1.4矢量积分定理从散度定义，可以得到：由旋度的定义【例题1.4.1】三、平面格林定理四、标量格林定理证明：第一定理证明：第二定理六并矢格林定理七其他积分定理证明(1)证明(2)证明(3)（1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？（2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？（3）如何唯一的确定一个矢量场？1、定理内容：空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即：其中为无散场，为无旋场。Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡源激发；并且满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：已知1.11.61.101.111.131.171.251.26