大一高数函数与极限函数○函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★)○邻域(去心邻域)(★)数列得极限○数列极限得证明(★)【题型示例】已知数列,证明【证明示例】语言1.由化简得,∴2.即对,,当时,始终有不等式成立,∴函数得极限○时函数极限得证明(★)【题型示例】已知函数,证明【证明示例】语言1.由化简得,∴2.即对,,当时,始终有不等式成立,∴○时函数极限得证明(★)【题型示例】已知函数,证明【证明示例】语言1.由化简得,∴2.即对,,当时,始终有不等式成立,∴无穷小与无穷大○无穷小与无穷大得本质(★)函数无穷小函数无穷大○无穷小与无穷大得相关定理与推论(★★)(定理三)假设为有界函数,为无穷小,则(定理四)在自变量得某个变化过程中,若为无穷大,则为无穷小;反之,若为无穷小,且,则为无穷大【题型示例】计算:(或)1.∵≤∴函数在得任一去心邻域内就是有界得;(∵≤,∴函数在上有界;)2.即函数就是时得无穷小;(即函数就是时得无穷小;)3.由定理可知()极限运算法则○极限得四则运算法则(★★)(定理一)加减法则(定理二)乘除法则关于多项式、商式得极限运算设:则有(特别地,当(不定型)时,通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值,也可以用罗比达法则求解)【题型示例】求值【求解示例】解:因为,从而可得,所以原式其中为函数得可去间断点倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节):解:○连续函数穿越定理(复合函数得极限求解)(★★)(定理五)若函数就是定义域上得连续函数,那么,【题型示例】求值:【求解示例】极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则(P53)(★★★)第一个重要极限:∵,∴(特别地,)○单调有界收敛准则(P57)(★★★)第二个重要极限:(一般地,,其中)【题型示例】求值:【求解示例】无穷小量得阶(无穷小得比较)○等价无穷小(★★)1.2.(乘除可替,加减不行)【题型示例】求值:【求解示例】函数得连续性○函数连续得定义(★)○间断点得分类(P67)(★)(特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式)【题型示例】设函数,应该怎样选择数,使得成为在上得连续函数？【求解示例】1.∵2.由连续函数定义∴闭区间上连续函数得性质○零点定理(★)【题型示例】证明:方程至少有一个根介于与之间【证明示例】1.(建立辅助函数)函数在闭区间上连续;2.∵(端点异号)3.∴由零点定理,在开区间内至少有一点,使得,即()4.这等式说明方程在开区间内至少有一个根导数与微分导数概念○高等数学中导数得定义及几何意义(P83)(★★)【题型示例】已知函数,在处可导,求,【求解示例】1.∵,2.由函数可导定义∴【题型示例】求在处得切线与法线方程(或:过图像上点处得切线与法线方程)【求解示例】1.,2.切线方程:法线方程:函数得与(差)、积与商得求导法则○函数与(差)、积与商得求导法则(★★★)1.线性组合(定理一):特别地,当时,有2.函数积得求导法则(定理二):3.函数商得求导法则(定理三):反函数与复合函数得求导法则○反函数得求导法则(★)【题型示例】求函数得导数【求解示例】由题可得为直接函数,其在定于域上单调、可导,且;∴○复合函数得求导法则(★★★)【题型示例】设,求【求解示例】高阶导数○(或)(★)【题型示例】求函数得阶导数【求解示例】,,……隐函数及参数方程型函数得导数○隐函数得求导(等式两边对求导)(★★★)【题型示例】试求:方程所给定得曲线:在点得切线方程与法线方程【求解示例】由两边对求导即化简得∴∴切线方程:法线方程:○参数方程型函数得求导【题型示例】设参数方程,求【求解示例】1、2、变化率问题举例及相关变化率(不作要求)函数得微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则(★★★)中值定理与导数得应用中值定理○引理(费马引理)(★)○罗尔定理(★★★)【题型示例】现假设函数在上连续,在上可导,试证明:,使得成立【证明示例】1.(建立辅助函数)令显然函数在闭区间上连续,在开区间上可导;2.又∵即3.∴由罗尔定理知,使得成立○拉格朗日中值定理(★)【题型示例】证明不等式:当时,【证明示例】1.(建立辅助函数)令函数,则对,显然函数在闭区间上连续,在开区间上可导,并且;2.由拉格朗日中值定理可得,使得等式成立,又∵,∴,化简得,即证得:当时,【题型示例】证明不等式:当时,【证明示例】1.(建立辅助函数