@第十讲常微分方程考试要求1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法。会解伯努力方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。会用降阶法解下列形式的微分方程：y(n)=f(x),y//=f(x,y/)和y//=f(y,y/).3、掌握(会解)二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。4、理解(了解)线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。6、掌握一阶常系数线性差分方程的解法。7、会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。8、会解欧拉方程。9、会用微分方程解决一些简单的应用问题。二、内容提要（一）、一阶微分方程1可分离变量微分方程或直接积分：2齐次方程,3一阶线性微分方程或4贝努里方程,5全微分方程6可用简单变量代换求解的微分方程（二）、可降阶的高阶微分方程1,连续积分n次2,3,（三）、高阶线性微分方程1、(1)(2)解的性质、结构2、常系数线性齐次方程(1)特征方程，特征根三种情况：(2)3、二阶常系数线性非齐次方程(1),特解：(2),特解：(3),特解：4、欧拉方程令5、微分方程组，一般化为二阶常系数线性微分方程求解.三、典型题型与例题题型一、一阶微分方程的求解解题步骤：(1)判断方程的类型；(2)注意；(3)若不能确定类型，考虑用适当的变量代换.例1、(981)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量,且当时，是的高阶无穷小量，,则y(1)=.例2、求。例3、求的通解。例4、（99）设有微分方程，其中,试求在内连续的函数y=y(x)，使之在和内都满足所给方程且y(0)=0.例5、求微分方程的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小.例6、解微分方程;例7、;例8、例9、解1、A用曲线积分法:B用全微分运算:C用偏积分法:原方程的通解为注：全微分方程的解法：则存在1、曲线积分法：2、全微分的运算。3、偏积分法，则，，，题型二、可降阶的高阶微分方程例10、(001)微分方程的通解为____,例11、(991)设函数y(x)(x0)二阶可导且过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S2.并设,求此曲线的方程.例12、题型三、高阶常系数线性微分方程的求解1、二阶常系数齐次线性微分方程的解2、二阶常系数非齐次线性微分方程的解方法：1）求特征方程的根2）写出齐次方程的通解3）求出非齐次方程的一个特解4）写出非齐次的通解例13、例14、例15、例16、(002)具有特解的3阶常系数齐次线性微分方程是__________,[]例17（10123）3阶常系数线性齐次微分方程的通解为.例18、设都是某二阶常系数线性微分方程的解，则此二阶常系数齐次线性微分方程为.例19*、(综合题)设在(-1,+)上具有连续的一阶导数，且满足f(0)=1及求,并证明：当x>0时，有