不用積分公式高中生如何證明球表面積公式李政豐王啟祥鄒孟霖江淑娟余珮芯國立竹南高級中學（一）楔子：就好。可是這個公式從國小到高二，甚至在目前的高中數學新課程，二年級有選修其它學科，都有同學或老師會使用到，而目幾何學，其中幾何學下冊，都談到球表面積、前只有龍騰文化圖書公司出版的『幾何學透體積公式。這一部分的證明，在高二的的程視』，編者吳志揚、余文卿教授有一個比較度，會有點困難，尤其是球表面積公式這一部特殊的證法。份，要證得很直觀，是有些困難。本文提出一個直觀、易懂的方法，我們回顧大一微積分，球表面公式可由下圖只用到三角函數的和積互化公式，數列級數與積分公式求得；的極限概念，與連續函數的性質，就可以把「球表面積公式」證出來。圓x2+y2=r2繞x軸旋轉，會形（二）本文：成一個球。(1)錐台(frustum)之側表面(lateralsurface)的取y=面積之計算：如果錐台（如下圖），上圓半徑是y,下圓半徑是x，斜高(slantheight)為z，則側球表面積=表面積若干?其中y=，由相似三角形：ty+yz=tx球表面積=t(x-y)=yz=t=--------（甲）如果將圓錐剪開,則如下圖，其中圓心高中生解讀實有困難，幾何角θ的單位是弧度；學課本，大多述而不證，要學生把公式背下來－31－科學教育月刊第240期中華民國九十年六月=4r2sin2故=2rsin(就像刨刀削水果皮，刨刀的刀寬是一定的，所削得的一圈果皮，寬度是2rsin)錐台側表面積=扇形OAB面積－扇形OCD(3)把繞y軸旋轉，所成之錐台，其側表面積面積為何?由弧長公式t由上面（甲）式=由E(r,0),F(rcosθ,rsinθ)=rcosθ(上圓半徑)=由扇形面積公式=r(下圓半徑)=2rsin(斜高)故，錐台側表面積故，側表面積為(2rsin)(r+rcosθ)=()2()－()2同理；G(rcos2θ，rsin2θ)，F(rcosθ，rsinθ)由繞y軸旋轉所成錐台之上圓半徑()=－=是rcos2θ，下圓半徑是rcosθ側高(母線長)=2rsin，故側表面積為(2rsin)(rcos把錐台側表面積，表示成或是2這都是容易解讀的方式。θ+rcos2θ)，繞y軸旋轉所成錐台之側表面積為(2rsin)(rcos2θ+rcos3θ)(2)把半徑為r的圓弧,以及圓心角，分(4)由這些等長的弦、、⋯繞y軸為n等份,每一等分的圓心角θ所對的弧長為何?旋轉所成錐台之側表面積的和為:Sn=(2rsin)[(r+rcosθ)+(rcosθ+rcos2θ)+(rcos2θ+rcos3θ)+............(rcos(n-1)θ+rcos(nθ))]由θ=nθ=,cos(nθ)=0由餘弦定理：Sn=(2rsin【)r+2r(cosθ+cos2θ+cos3θ=r2+r2-2(r)(r)cosθ+⋯⋯⋯⋯cos(n-1)θ)】=2r2(1-cosθ)=2r2(2sin2)=(2r2sin)+(2rsin【)2r(cosθ+cos2－32－不用積分公式高中生如何證明球表面積公式θ+cos3θ+⋯⋯⋯⋯cos(n-1)θ)】如下圖所示：如果球冠的底面，圓上一=(2r2sin)+(2r2【)2sincosθ點P，+2sincos2θ+2sincos3θ+⋯⋯⋯⋯+2sincos(n-1)θ】由三角函數的「積化和差公式」=2r2sin+2r2【(sin－sin)+(sin-則半球之【冠外部分】的側表面積是多sin)+(sinθ-sinθ)+⋯⋯⋯⋯少？（如下圖所示）(sinθ-sinθ)】22Sn=2rsin+2r[sinθ-sin]我們將β角m等分，令，則在垂直剖面的分點座標如上圖所示。=2r2sin[()θ]θ用入令E(r,0)，F(rcosα,rsinα)，G(rcos2α,rsin2α)，H(rcos3α,rsin3α)⋯⋯⋯=2r2sin[()]下圖中，連接相鄰的分點E與F，所=2r2sin[()]成的弦，繞y軸旋轉所成錐台之側表面積為：當n=時()1由於正弦函數是一個連續函數，得半球之表面積為2r2sin=2r2故，球表面積為4r2將這些等長的弦、、(5)球冠的側表面積要怎麼算？..................繞y軸旋轉所成錐台之側表面積如下圖，在半徑是r的球中，球冠的底的和為:面，圓的半徑是R，球冠的高是h，則球冠的Sm=π(2rsin)[(r+rcosα)+(rcosα+側表面積是多少？rcos2α)