数理统计学课后答案【篇一：数理统计习题】为总体（或母体），而把组成总体的每个元素称为个体。1.2设随机样本（x1,x2,?,xn）来自总体为正态分布（x1,x2,?,xn）的联合分布函数为f(x1,x2,?,xn)?(2??)*2?n2n(?,?2)，则样本exp{?12?2?(xi?1n2i??)}。1.3若对一批n件产品的合格率进行检查，从中有放回地随机抽取n件。分别以0，1表示某件产品为次品和合格品，?(0??的0—1分布，即?1)表示产品的合格率，则总体x服从参数为?p(x?x)??x(1??)1?x,x?0,1。所以样本（x1,x2,?,xn）的联合分布律数为p(x1?x1,x2?x2,?,xn?xn)???i?1nxi(1??)1?xi,xi?0,1.21.4设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n(?,?数，则(x1?x2?x3)??，)，其中?,?2是未知参11(x1?x2)??和(x1?x2?x3)都不是统计量，2?11222因为它们都含有未知参数，而(x1?x2?x3)(x1?x2?x3)和x1?x2?x332都是统计量。1.5设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n(?,?知参数，则213)，其中?已知，?2是未12(x12?x22111(x1?x2?x3)??，(x1?x2)??(x1?x2?x3)和32312?x3)都是统计量，而(x1?x2?x3)不都是统计量。?1．6设x1,x2,?,xn是来自总体x的一个样本，则称统计量121ns?(xi?)2?nx??xi，ni?1ni?1n分别为样本的均值和样本方差；统计量1nk1nak??xi，bk??(xi?x)kni?1ni?1分别为样本k阶原点矩和k阶中心矩。2显然，a1?x，b2?sn。1．7设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?任意一个确定线性函数2)的一个样本，统计量是样本的u?a1x1?a2x2???anxn，则统计量u?a1x1?a2x2???anxn也是服从正态分布的随机变量，其均值和方差分别为e(u)??(a1?a2???an)???ai?1ni，nd(u)??(a1?a2???an)??特别地，取a1?a2???an?22222?ai?12i。1，则统计量u是样本的均值x，有下面的推论。n21.8设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?)的一个样本，则样本的均值?2)。（2x~n(?,n1.9设（x1,x2,?,x25）是来自正态总体n(2,5)的一个样本，求统计量x的密度函数。解由推论知52x~n(2,)?n(2,1)，25则x的密度函数为fx(x1,x2,?,x25)?1exp[?(x?2)2]。22?11．10设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?数，求统计量t?的分布。解作变换yi?2)的一个样本，且?是已知常?(xi?1ni??)2xi???,i?1,2,?,n，则y1,y2,?,yn相互独立，且同服从n(0,1)分布，所以2t?2??(i?1nxi???)??yi22i?1n服从?分布。从而统计量t的密度函数为1.11①如果f~f(m,n)，则②x1~f(n,m)。f与y独立，则f~?2(1),y~?2(n),x?t2，即f(1,n)与t2(n)相同。21.12设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?)的一个样本，x??1nx??xi，则u?~n(0,1)。ni?1?/n证明因为x1,x2,?,xn相互独立，与总体服从同一分布n(?,?2)，即xi~n(?,?21n)，由正态分布的加性定理知x??xi服从正态分布。又因为ni?11n1ne(x)?e?xi}??e(xi)??，ni?1ni?11n1d(x)?d?xi}?2ni?1n所以?d(x)?ii?1n?2n，x~n(?,?2n)。再由正态分布的性质知u?x???/n~n(0,1)。1.13设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?2)的一个样本，则1?2?(xi?1ni??)2~?2(n)。2证明因为x1,x2,?,xn相互独立，与总体服从同一分布n(?,?)，即xi~n(?,?2)，于是xi???~n(0,1),(i?1,2,?,n)。再由?2的定义，则1?2?(xi?1ni??)2~?2(n)。2