2022年普通高考数学科一轮复习精品学案第24讲三角恒等变形及应用一．课标要求：1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3．能运用上述公式进行简单的恒等变换〔包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆〕。二．命题走向从近几年的高考考察的方向来看，这局部的高考题以选择、解答题出现的时机较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的根本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。三．要点精讲1．两角和与差的三角函数；；。2．二倍角公式；；。3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。〔2〕化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。〔1〕降幂公式；；。〔2〕辅助角公式，。4．三角函数的求值类型有三类〔1〕给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；〔2〕给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角〞，如等，把所求角用含角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；〔3〕给值求角：实质上转化为“给值求值〞问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。5．三角等式的证明〔1〕三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异〞为“同〞；〔2〕三角条件等式的证题思路是通过观察，发现条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。四．典例解析题型1：两角和与差的三角函数例1．，求cos。分析：因为既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的两种解法。解法一：由sin+sin=1…………①，cos+cos=0…………②，①2＋②2得2+2cos；∴cos。①2－②2得cos2+cos2+2cos〔〕=－1，即2cos〔〕〔〕=－1。∴。解法二：由①得…………③由②得…………④④÷③得点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin、cos、sin、cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与式的关系此题关键在于化和为积促转化，“整体对应〞巧应用。例2．求。分析：由韦达定理可得到进而可以求出的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值。解法一：由韦达定理得tan，所以tan解法二：由韦达定理得tan，所以tan，。题型2：二倍角公式例3．化简以下各式：〔1〕，〔2〕。分析：〔1〕假设注意到化简式是开平方根和2以及其范围不难找到解题的突破口；〔2〕由于分子是一个平方差，分母中的角，假设注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点。解析：〔1〕因为，又因，所以，原式=。〔2〕原式==。例4．假设。分析：注意的两变换，就有以下的两种解法。解法一：由，解法二：，如，，等。题型3：辅助角公式例5．正实数a,b满足。分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，那么等式可化为关于程，从而可求出由，假设注意到等式左边的分子、分母都具有的结构，可考虑引入辅助角求解。解法一：由题设得解法二：解法三：点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种根本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式，，或在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最正确。例6．函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1，x∈R.〔1〕当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；〔2〕该函数的图象可由y＝sinx〔x∈R〕的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到〔理〕〔1〕解析：y＝cos2x＋sinxcosx＋1＝〔2cos2x－1〕＋＋〔2sinxcosx〕＋1＝cos2x＋sin2x＋＝〔cos2x·sin＋sin2x·cos〕＋＝sin〔2x＋〕＋y取得最大值必须且只需2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z。所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|