学案3二项式定理返回目录2.二项式系数的性质（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即.（2）增减性与最大值由知，当k<时，二项式系数是逐渐的，由对称性知它的后半部分是逐渐的，且在中间取最大值.当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值.（3）各二项式系数的和为2n，即=2n.（4）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即（1）的展开式中x5的系数为.（2）若在(1+ax)5的展开式中x3的系数为-80,则a=.【解析】（1）二项展开式的通项为令8-=5,则r=2,∴T3=(-1)2··x5=28x5,∴x5的系数为28.（2）在二项展开式中通项公式Tr+1=(ax)r=·ar·xr,令r=3,得x3的系数:·a3=-80,∴a3=-8,∴a=-2.【评析】（1）二项展开式的通项公式反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项的系数或指数.（2）求指定项的系数主要通过二项式定理的通项公式列方程求得，考查计算能力.若(x+)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为()A.10B.20C.30D.120（1+2x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【解析】T6=(2x)5,T7=(2x)6,依题意有·25=·26n=8.∴(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为T5=(2x)4=1120x4,设第r+1项系数最大,则有·2r≥·2r-1·2r≥·2r+12(8-r+1)≥rr≤6r+1≥2(8-r)r≥5又∵r∈N，∴r=5或r=6,∴系数最大的项为T6=1792x5，T7=1792x6.【评析】①求二项式系数最大的项，要根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大.②求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式组的方法.在(3x-2y)20的展开式中,求:(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项.(1)二项式系数最大的项是第11项,T11=310(-2)10x10y10=610x10y10.(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项,·320-r·2r≥·319-r·2r+1·320-r·2r≥·321-r·2r-1,3(r+1)≥2(20-r)2(21-r)≥3r,解得≤r≤.所以r=8.即T9=312·28·x12y8是系数绝对值最大的项.(3)由于系数为正的项为奇数项,故可设第2r-1项系数最大,于是·322-2r·22r-2≥·324-2r·22r-4·322-2r·22r-2≥·320-2r·22r,10r2+143r-1077≤010r2+163r-924≥0.解之得r=5,即2×5-1=9项系数最大.T9=·312·28·x12y8.设（2-x）100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，求下列各式的值：（1）a0;（2）a1+a2+…+a100;（3）a1+a3+a5+…+a99;（4）（a0+a2+…+a100）2-(a1+a3+…+a99)2.【解析】（1）由(2-x)100展开式中的常数项为·2100，即a0=2100,或令x=0，则展开式可化为a0=2100.（2）令x=1，可得a0+a1+a2+…+a100=(2-)100，①∴a1+a2+…+a100=(2-)100-2100.（3）令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100，②与x=1所得到的①联立相减可得a1+a3+…+a99=.（4）原式=［(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)］［(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)］=(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=(2-)100(2+)100=1.【评析】（1）求关于展开式中系数和的问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如1,-1,0,….（2）一般地，对于多项式g(x)=(a+bx)n=a0+a1x+…+anxn.g(x)的各项的系数和为g(1),g(x)的奇数项的系数和为［g(1)+g(-1)］,g(x)的偶数项的系数和为［g(1)-g(-1)］.设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=（）A.29B.49C.39D.59求值：（1