模拟试题一、试解下列各题⎪⎧x=ettcos1.（4分）由参数方程确定了函数yyx=，试求y关于x的微分⎨t()⎩⎪ye=sintπ（tk≠+π）。4解：dx=−=−et(costsint)dt(xy)dt。1πdt=dx，（tk≠+π，故x≠y）。x−y41x+ydy=et()()sint+costdt=+⋅xydx=dx.x−−yxyxx2−−cos(1)2.（4分）求极限lim。x→1lnx2sin1xx+−()解：原式==lim2。x→11/x3.（4分）确定yx=−ln(1+x2)的单调区间。()1−x2解：2在连续，当时，恒有′。仅当yx=−ln(1+x)(−∞,+∞)x≠1y=2>0x=11+x时，y′=0。所以该函数在(−∞+∞,)单调增。二、试解下列各题⎧3,01x+≤<bx⎪1.（5分）设fx()==⎨a,x1。试确定ab,之值，使f()x在x=1处连续。⎪⎩xb−<≤,1x2答：f(1)=a，f(10−=+)3b，f(10+)=−1b。令31+bb=−，得b=−1。令ab=−1，得a=2。故当a=2，b=−1时，f(x)在x=1处连续。x2.（5分）设yx=+−arcsinln()1，求y′。31111−1解：当−<31x<时，有y′=−⋅+=+。22⎛⎞x31−xx9−x−11−⎜⎟⎝⎠313.（5分）已知y=ln，求y′。1+x2112xx解：2，故′⎛⎞。yx=−ln()1+y=−⎜⎟⋅22=−2⎝⎠21+x1+x三、试解下列各题dx1.（6分）求。∫3xa()22+x2解：令x=attan，则1cos2t11原式=dt=−=−++()csctsintdt()lncsctcottcostCata33∫∫sina31⎡⎤a=+−−++lnaxa22lnxC3⎢⎥()22a⎣⎦ax+52.（6分）计算24x−dx。∫025解：原式=−()42xdx+()2x−=4dx13。∫∫02+∞lnx3.（6分）求dx。∫1x2+∞+∞+∞⎛⎞⎡11⎤+∞111⎡⎤解：原式=lnxd−=−lnx+⋅dx=−=1。∫∫11⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎠⎣xx⎦11xxx⎣⎦4.（7分）求微分方程yyye′′++=324′−2x的通解。−x−2x−2x−−x22xx−解：yCeCe=+12，yxe*4=−，yCeCe=+12−4xe。四、设aij=+，bjk=−2+，求以向量a和b为边的平行四边形的对角线的长度。22解：对角线为ab+和ab−。故ab+=−+(ijk)=3。因此ab+=3。又22ab−=+−=(i311jk)，所以ab−=11。五、试解下列各题1.（7分）求微分方程x32yxyxyx′′′+−=′′43′2的通解。解：设x=ex，则tx=ln。因此原方程化为(D32−−23DDye)=32t。对应的特征方C程为rrr32−−=230，r=−0,1,3。YCCeCeC=+−tt+33=+2+Cx。1231x3⎧tsinux=du2⎪∫1dydy（分）设⎪u。求，，其中。2.6⎨20<t<πt2cosudxdx⎪ydu=−⎩⎪∫1u22dxsintdy2cost2dy2cost2dy222sinsintt(tt+coscostt)解：=，=−，=−，=。dttdttdxsintdx23sintπ3xsinx六、（7分）计算πdx。∫−23cosx解：ππππxsinxxdx⎛⎞⎡⎤1232原式==2223dxxd=−3∫∫002⎜⎟⎢⎥∫0cosx⎝⎠⎣⎦cosxxcos0cosx14π=−ππ2lnsec⎡⎤()xx+tan3=−2ln2+3.33⎣⎦()2七、（8分）在区间[0,1]上，给定函数yx=，问当t为何值时，图中的阴影部分S1与S2的面积之和最小？何时最大？xBS2t2AS1Otyt122222223212解：A的坐标为(tt,)，故Stt1=×−xdxt=，Sxdxtttt2=−−()1=+−，∫03∫t33411所以SS+=ft()=tt32−+。因为ft′()=22tt(−=1)0，求得驻点t=，边界点t=1，1233211121。比较，⎛⎞，，因此，当时，取最小值；时，t=0f()0=f⎜⎟=f()1=t=SS12+t=13⎝⎠2432SS12+取最大值。dy八、（8分）设yyx=()，yyx=()是方程=+pxy()qx