1.2点、线、面之间的位置关系下图为一输电线路，请观察：问题1：电线杆a，b所在的直线有什么样的位置关系？提示：平行．问题2：两电线杆之间的保险杠c，d所在的直线有什么样的位置关系？提示：相交．问题3：电线e与电线杆a所在的直线共面吗？提示：不共面．空间两直线之间的位置关系在初中学过，在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．问题1：在空间中是否有类似的规律？提示：有．问题2：你能否利用教室中的物体举出符合这一规律的实例？提示：可以．如教室前后墙与地面和屋顶的交线．问题3：观察教室地面和后墙的墙角与前墙和天花板的墙角大小怎样？提示：相等．1．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相．这一性质叫做空间．定理a⊥b1．对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线．例如，如图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB与B1C1是异面直线．2．对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法．等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1.[思路点拨]解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A1E∥CE1，A1F∥CF1，然后根据等角定理，得出结论．[一点通]运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．1．空间两个角α、β且α与β的两边对应平行，若α＝60°，则β的大小为________．解析：由等角定理可知，β＝α或α＋β＝180°，∴β＝60°或β＝120°.答案：60°或120°已知平面α∩平面β＝a，b⊂α，b∩a＝A，c⊂β且c∥a.求证：b，c是异面直线．[思路点拨]可利用定理或反证法解题．[精解详析]法一：α∩β＝a，b⊂α，b∩a＝A，∴b⊄β，A∈α.∵c∥a，∴A∉c，∴b，c是异面直线．法二：(反证法)若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交．(1)若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，这与a∩b＝A矛盾．(2)若b，c相交于B，则B∈β，又a∩b＝A，∴A∈β.∴AB⊂β，即b⊂β，这与b∩β＝A矛盾，∴b，c是异面直线．[一点通]应用定理证明异面直线时要注意定理中条件的确定．应用反证法时要注意矛盾的推导．3.如图，平面α，β相交于EF，A∈EF，B∈EF，分别在平面α，β内作∠EAC＝∠FBD，则AC和BD的关系是________．解析：由于AC⊂α，D∉α，B∈α，B∉AC，所以AC与BD异面．答案：异面4.如图，AB、CD是两异面直线，求证：直线AC、BD也是异面直线．证明：法一：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内，设这个平面为α，由AC⊂α，BD⊂α，知A，B，C，D∈α.故AB⊂α，CD⊂α.这与AB和CD是异面直线矛盾，所以假设不成立，则直线AC和BD是异面直线．法二：由题图可知，直线AB，AC相交于点A，所以它们确定一个平面为α.由直线AB和CD是异面直线，知D∉α，即直线BD过平面α外一点D与平面α内一点B.又AC⊂α，B∉AC，所以直线AC和BD是异面直线.[思路点拨]找过E点且与CD平行的直线，在△ACD中，E为中点，则取AC的中点F，连结EF，有EF∥CD，则可知异面直线BE和CD所成的角为∠BEF或其补角．[精解详析]取AC的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，所以EF∥CD.所以∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角或其补角．[一点通]异面直线所成角的定义明确给出了异面直线所成角的范围及求异面直线所成角的方法，即平移法作出异面角后转化为解三角形求角，体现了把空间角转化为平面角来求的基本思想．5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知棱长为a，则异面直线A1B与B1C所成角的大小为________．6．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，求异面直线AB1和BM所成的角为________．(正三棱柱是指底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱)答案：90°1．证明两