2005年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空题：1．.2．曲线，在点处的法线方程为.3．设函数为连续函数，且，则.4．函数在点处，沿点指向点方向的方向导数为.5．设，则.二．选择题：1．设函数与在开区间内可导，考虑如下的两个命题：（1）若，则；（2）若，则.则（）（A）两个命题均正确；（B）两个命题均不正确；（C）命题（1）正确，命题（2）不正确;（D）命题（1）不正确，命题（2）正确.2．设函数连续，为的原函数，则（）（A）当为奇函数时，必为偶函数；（B）当为偶函数时，必为奇函数；（C）当为周期函数时，必为周期函数；（D）当为单增函数时，必为单增函数；3．设平面位于平面与平面之间，且将此两平面的距离分为，则平面的一个方程为（）（A）；（B）（C）；（D）4．设为非零的连续函数，，则当时（）（A）与为同阶无穷小；（B）与为同阶无穷小；（C）与为同阶无穷小；（D）是比高阶的无穷小.5．设函数满足等式，且，，则在点处（）（A）取得极小值；（B）取得极大值；（C）在点的一个领域内单调增加;（D）在点的一个领域内单调减少.三．求函数的值域.四．设，其中具有二阶连续偏导数，具有二阶连续导数，求.五．设二元函数在有界闭区域上可微，在的边界曲线上，并满足，求的表达式.六．设二元函数具有一阶连续偏导数，且，求.七．设曲线（）与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形，试问：（1）当为何值时，该图形绕轴一周所得的旋转体体积最大？（2）最大体积为多少？八．设为椭球面的上半部分，点，为在点处的切平面，为点到平面的距离，求.九．证明：.十．设正值函数在区间上连续，，证明：十一.设函数在闭区间上具有连续的二阶导数，证明：，使得十二.设函数在闭区间上具有二阶导数，，且，证明：存在一点，使得.