2021年天津市大学数学竞赛试题解答（人文类）一.填空题（本题15分，每小题3分）11.设1，则lim(n!)nn1.11解：显然有1(n!)n(nn)n.当1时，11limlnxlim11lim(xx)xxlimxxxexx1ex(1)x11，则有lim(nn)nn1.1由两边夹法则，有lim(n!)nn1.2.limn[(11)2ne2]=e2.nn12nln(11)2nln(11)2解：limn[(1n)2ne2]=limn[ennne2]lime2n[enn1]ln(11)111=lim2e2nn2e2limln(1t)t2e2lim1tn=2e2lim1n2te2t0t2t02tt02（t1+t)dnmmnm,nf(2)nn(m1)设f(x)dxn(2x)，其中为正整数，则=(m)n!2解：f(x)ndnm1{(2x)(2dxn2m2xxm1)n}C((2x))((22xx))nin(i)m1m2m1n(ni)ni0nx2故f(2)Cn((2x)n)(n)(2m12m2xxm1)n|(m)nn!2n(m1).设函数yy(x)由方程sinxydy4(arcsint)dt确定，则21dx2x02y解：由sinx(arcsint)dt可得，当x0时，y1.两边同时对x求导，得1人文类Page1cosx(arcsiny)2y，y=cosx(arcsiny)2，有y(0)4.2已知f(x)的一个原函数是sinxlnx，则xf'(x)dx=(xcosxsinx)lnxsinxc.解：由题意，f(x)dxsinxlnxc，f(x)(sinxlnx)故xf'(x)dx=xdf(x)xf(x)f(x)dxx(sinxlnx)sinxlnxc=(xcosxsinx)lnxsinxc二.选择题（本题15分，每小题3分）1.设函数f(x)ex12x,x0，其中0，g(x)为有界函数，则f(x)在x0处x1g(x),x0（A）极限不存在2（B）极限存在但不连续解：选（D）.（C）连续但不可导（D）可导2limf(x)limex1xlimx0，limf(x)limx1g(x)0，x0+x0+x0+x0x0xlimx0+f(x)=limx0f(x)=f(0)0，则f(x)在x0处连续.f(0)limf(x)f(0)22xxxxex1xlim=lim0x0xf(x)f(0)x0x0x1g(x)f(0)limlim=limxg(x)0x0x则f(0)0.x0xx02.设函数yf(x)满足方程y'''x2y''xy'5y4x36，且f(0)f'(0)=f''(0)0，则函数f(x)在x0点取得极大值;在x0点取得极小值；解：选（C）.在x0点为拐点；在x0点不为拐点.函数yf(x)满足方程y'''x2y''xy'5y4x36，且人文类Page2f(0)f'(0)=f''(0)0，可得f(0)60，而f(0)=limf(x)f(0)limf(x)，故f(x)在x0的左右邻域变号，故x0xx0x点(0,f(0))为拐点.x2axb，x13.若函数f(x)sin(2x),x1在x1处可导，则(A)a0,b1(C)a1,b2(B)a2-2,b1-2(D)a1,b0解：选（B）.x2ax