子集类竞赛题解法探求绍兴市稽山中学郑国才集合中子集问题是数学竞赛中的常客，它往往短小精悍，但涉及知识面广，难度大，而构思又非常巧妙，深受数学爱好者的喜爱，本文就此类题型的解法作一些探讨．1、直接构造例1、设M={1，2，3…1995}，A是M的子集，且满足条件：当∈A时，15A，则A中元素的个数最多是（1995年全国高中联赛）．解：构造子集A如下：1995÷15=133，记A1={134，135，…1995}，则|A1|=1862（个）；133÷15=8（余13），记A2={9，10，…，133}，则|A2|=125（个）；记A3={1，2，3，4，5，6，7，8}，则|A3|=8（个），显然，A1∪A2∪A3={1，2，3，…1995}Ai∩Aj=（i≠j），且．令，则A是满足要求的子集，且|A|=|A1|+|A3|=1862+8=1870．例2、设集合M={1，2，3…1000}，现对M的任一非空子集X，令表示X中最大数与最小数之和，则所有这样的算术平均值为．（1991年全国高中联赛）解：构造子集={1001-x|x∈X}，则所有非空子集分成两类=X和≠X．当=X时，易求得=1001；当≠X时，设x，y分别是X中的最大数与最小数，则1001－x、1001－y分别是中的最小数与最大数，于是=x+y，=2002―x―y,从而因此，所求的的算术平均值为1001．2、合理分割集合分割是数学竞赛中解集合类问题的常用方法之一．例3、设S为{1，2，3…50}的具有下列性质的子集：S中任意两个不同元素之和不能被7整除，那么S中元素最多可能有个．（第43届美国中学数学竞赛）解：将A={1，2，3…50}划分为7个子集：A0，A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中Ai的元素除以7的余数为i（i=0，1，2，3，4，5，6），即A0={0，7，14，21，28，35，42，49}；A1={1，8，15，22，29，36，43，50}；A2={2，9，16，23，30，37，44}；A3={3，10，17，24，31，38，45}；A4={4，11，18，25，32，39，46}；A5={5，12，19，26，33，40，47}；A6={6，13，20，27，34，41，48}；显然，S最多含有A0中的一个元素．但是，若S含有其他任何一个子集的一个元素，则它就能包含这个子集的所有元素，因为A1含有8个元素，其他每个子集包含7个元素，且S不能同时含有A1和A6的元素，或者A2和A5的元素，或者A3和A4的元素，故最大子集含有1+8+7+7=23（个）元素．3、适当分类分类讨论是中学数学的重要数学思想方法，在数学竞赛中也不例外．例4、设S是一个有6个元素的集合，能有多少种方法选取S的两个（不必不相同）子集，使得这两个子集的并集是S？选取的次序无关紧要，例如，一对子集{a，c}，{b，c，d，e，f}与一对子集{b，c，d，e，f}，{a，c}表示同一种取法．（第11届美国数学邀请赛）解：设S=A∪B，且不妨设|A|≤|B|，若|A|=0，则A=，B=S，只有1种取法，若|A|=1，则|B|=6或5，有种取法，若|A|=2，则|B|=6或5或4，有，若|A|=3，则|B|=6或5或4或3，有，若|A|=4，则|B|=6或5或4，有，若|A|=5，则|B|=6或5，有，若|A|=6，则|B|=6，有1种取法，由上可知，满足题意的选取方法共有1+12+60+150+120+21+1=365（种）．4、利用容斥原理例5、对于任何的集合S，以|S|论集合S中元素的个数，以n(s)论集合S的子集的个数，若A，B，C三个集合满足条件n（A）+n（B）+n（C）=n（A∪B∪C）和|A|=|B|=100，那么|A∩B∩C|可取的最小值是（）（第42届美国中学数学竞赛）（A）96（B）97（C）98（D）99（E）100解：由题意得，∴，∴是大于1的2的方幂数，∴必是偶数，即必为奇数．∴|c|=101，∴|A∪B∪C|=102．由容斥原理，得|A∩B∩C|=|A|+|B|+|C|+|A∪B∪C|－|A∪B|－|A∪C|－|B∪C|∵|A∪B|、|B∪C|、|C∪A|≤102∴|A∩B∩C|≥100+100+101+102－102－102－102=97下而我们来说明97是可以取到的取A={1，2，…，97，98，99，100}；B={1，2，…，97，98，101，102}；C={1，2，…，97，99，100，101，102}即可，故选（B）．5、依靠图形分析计算例6、平面区域D，用N（D）表示属于D的所有整点的个数，若A表示曲线y=x2