线性代数一些证明题1题目设n阶可逆矩阵A满足A=A，求A的特征值。知识点特征值与特征向量矩阵的行列式解题过程解：因为A=A所以A－A=0所以det(A－A)=det[A(A－E)]=det(A)det(A－E)=0A为可逆矩阵，所以det(A)≠0所以det(A－E)=0所以A的特征值为1.常见错误设存在λ，使Ax=λx成立则det(Ax)=det(A)det(x)=det(x)=det(x)(错误在于向量取行列式)所以有成立.又因为A=Adet(A)=det(A),即det(A)=0或det(A)=1.由于A为可逆矩阵，det(A)≠0.所以det(A)=1当n为奇数时，λ=1.当n为偶数时，λ=1.相关例题设A为n阶矩阵,若A=E，试证A的特征值是1或-1.2题目设A是奇数阶正交矩阵，且det(A)=1，证明det(E-A)=0.知识点=1\*GB3①正交矩阵的定义：AA=E=2\*GB3②单位矩阵的性质：EA=AE=AE=E=3\*GB3③矩阵运算规律=4\*GB3④转置矩阵的性质：(A+B)=A+B=5\*GB3⑤det(A)=det(A)=6\*GB3⑥det(AB)=det(A)det(B)=7\*GB3⑦det(-A)=(-1)det(A)解题过程∵A是正交矩阵∴E－A=AA－A=AA－EA=(A－E)A∵det(A)=1∴det(E－A)=det((A－E)A)=det(A－E)det(A)=det(A－E)∵det(E－A)=det(E－A)=det(E－A)∴det(A－E)=det(E－A)=det(－(A－E))=(－1)det(A－E)∵n为奇数∴(－1)=－1∴det(A－E)=0∴det(E－A)=0常见错误=1\*GB3①误以为det(E－A)=det(E)－det(A)，于是det(E－A)=1－det(A)=1－1=0=2\*GB3②∵det(A)=1∴··…·=1(其中,,…,为A作初等变换变为上三角形后对角线上的元素).∴det(E－A)=（1-）（1-）…（1-）.∵det(E-A)=det((A-E)A)=det(A-E)det(A)=det(A-E)且det(A-E)=（-1）（-1）…（-1）.∴（1-）（1-）…（1-）=（-1）（-1）…（-1）=(-1)（1-）（1-）…（1-）∵n为奇数∴(－1)=－1∴（1－）（1－）…（1－）=0∴det(E－A)=0以上证法先把A变为上三角，再用E减去变化后的A，再求行列式，这是错误的。相关例题证明：若A为正交矩阵，则det(A)=±1.3题目试就a,b的各种取值情况,讨论下列线性方程组的解,若有解,则求出解。（1）知识点线性方程组解的结构解题过程解：B=(1)当a—b0,且a0时，rank(B)=3，增广矩阵的秩也等于3，而且等于未知数的个数，故方程组（1）有唯一解。其解为：(2)当a-b=0，且a0时，rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2，秩小于未知数的个数，此时故方程组（1）有无穷多解。其解可由，解得，代入第一个方程得到；一般解为：（3）当a=0，b为任意数，此时增广矩阵可化为：可见，rank(B)=2,但增广矩阵的秩为3，所以方程组（1）无解，常见错误在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。如，当ab时，就说原方程有唯一解，没有指出a0，当a=b时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=b0，等等。相关例题确定a,b的值，使下列方程组有唯一解；无解；有无穷多解，并求出通解。4题目若线性无关，，其中全不为0.证明线性无关.知识点向量线性相关解题过程证法一：（从定义出发）设存在常数，使得已知，代入上式，得化为：由题意知：线性无关由定义，知线性无关证毕证法二：（由初等列变换，秩相等）由于初等变换不改变矩阵的秩，所以由线性无关，知的秩为3，所以秩也为3，推出线性无关证法三：（反证法）假设线性相关.则存在不全为0的常数，使得已知，代入上式，得化为：（否则，由得）即线性相关,与题目已知条件矛盾.所以假设不成立,即线性无关.5题目设是的解且线性无关，，试证的任一解可表示为，其中知识点基础解系方程组解的结构解题过程证明由因为线性无关，所以线性无关，也线性无关，且所以是的基础解系因为的任一解可以表示为：的