空间向量与立体几何1、空间向量的概念：1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．uuuruuur3向量A的大小称为向量的模（或长度），记作A．4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．rrr5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．6方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点rr为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行uuur四边形AC，则以起点的对角线C就是rra与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作uuurruuurruuurrrAa，b，则Aab．rr3、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当rrrrr0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为rrr零向量，记为0．a的长度是a的长度的倍．rr4、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．rrrrrr分配律：abab；结合律：aa．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．1rrrrr6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb0，a//b的充要条rr件是存在实数，使ab．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．8、向量共面定理：空间一点位于平面AC内的充要条件是存在有序实数对x，uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuury，使AxAyAC；或对空间任一定点，有AxAyAC；或uuuruuuruuuruuur若四点，A，，C共面，则xAyzCxyz1．rruuurruuurr9、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作Aa，b，则rrrrA称为向量a，b的夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：rra,b0,．rrrrrr10、对于两个非零向量a和b，若a,b，则向量a，b互相垂直，记作2rrab．rrrrrrrr11、已知两个非零向量a和b，则abcosa,b称为a，b的数量积，记rrrrrrrr作ab．即ababcosa,b．零向量与任何向量的数量积为0．rrrrrrrrr12、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积．rrrrrrrrrr13、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1eaaeacosa,e；rrrraba与b同向rrrrrrrrr2rrr2abab0；3abrrrr，aaa，aaa；aba与b反向rrrrabrrrr4cosa,brr；5abab．abrrrrrrrrrr14、向量数乘积的运算律：1abba；2ababab；rrrrrrr3abcacbc．rrrr15、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序rrrrrrrrrrr实数组x,y,z，使得pxiyjzk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量．2rrrr16、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，rrrr存在实数组x,y,z，使得pxaybzc．rrr17、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是rrrrrrrrppxaybzc,x,y,zR．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，rrrrrra,b,c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．uruurur18、设e1，e2，e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位uruurururuurur正交基底），以e1，e2，e3的公共起点为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz．则对于空