第3讲函数的奇偶性与周期性分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·苏北四市调研)若函数f(x)＝eq\f(2,2x＋1)＋m为奇函数，则实数m＝________.解析由题意，得f(0)＝0，所以eq\f(2,20＋1)＋m＝0，即m＝－1.答案－12．(2012·无锡调研)设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(－1)＝－1，则f(2011)＝________解析因为f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，f(－1)＝－1，所以f(1)＝1，f(2011)＝f(3×670＋1)＝f(1)＝1.答案13．(2013·苏锡常镇扬调研)已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x，则f(－9)＝________.解析由题意，得f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(－4－x)，所以f(－9)＝f(－4＋9)＝f(5)＝－f(－5)＝－f(1)＝－2.答案－24．(2012·盐城市检测)设函数f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，若f(1)＞1，f(2)＝eq\f(2a－3,a＋1)，则a的取值范围是________．解析因为f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以eq\f(2a－3,a＋1)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＜－1，即eq\f(2a－3,a＋1)＋1＜0，eq\f(3a－2,a＋1)＜0，解得－1＜a＜eq\f(2,3).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))5．(2013·扬州市冲刺)已知函数f(x)是奇函数，且在[－1,1]上是单调增函数，又f(－1)＝－1，则满足f(x)≤t2＋2at＋1对所有的x∈[－1,1]及a∈[－1,1]都成立的t的取值范围是________．解析由题意，f(x)max＝f(1)＝－f(－1)＝1，所以t2＋2at＋1≥1，即t2＋2at≥0对a∈[－1,1]恒成立，t＝0时，显然成立；t≥0时，由t≥－2a恒成立，得t≥2；t＜0时，由t≤－2a恒成立，得t≤－2.综上，得t≤－2或t＝0或t≥2.答案(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)6．(2013·南通、无锡调研)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq\f(fx－f－x,x)＜0的解集为________．解析因为f(－x)＝－f(x)，所以由eq\f(fx－f－x,x)＝eq\f(2fx,x)＜0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,fx＜0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜0，,fx＞0.))因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，所以由f(x)＜f(1)，得0＜x＜1.又f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上为增函数，所以由f(x)＞f(－1)，得－1＜x＜0.综上所述，－1＜x＜0或0＜x＜1.答案(－1,0)∪(0,1)二、解答题(每小题15分，共30分)7．设f(x)＝ex＋ae－x(a∈R，x∈R)．(1)讨论函数g(x)＝xf(x)的奇偶性；(2)若g(x)是偶函数，解不等式f(x2－2)≤f(x)．解(1)a＝1时，f(x)＝ex＋e－x是偶函数，所以g(x)＝xf(x)是奇函数；a＝－1时，f(x)＝ex－e－x是奇函数，所以g(x)＝xf(x)是偶函数．a≠±1，由f(x)既不是奇函数又不是偶函数，得g(x)＝xf(x)是非奇非偶函数．(2)当g(x)是偶函数时，a＝－1，f(x)＝ex－e－x是R上的单调递增函数，于是由f(x2－2)≤f(x)得x2－2≤x，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.8.已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)设x2>x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝xeq\o\al(2,1)＋eq\f(a,x1)－xeq\o\al(2,2)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x1－x2,x1x2)[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1